Question

【題目】如圖，平行四邊形的對角線、相交于點，點是邊的延長線上一點，且，連接.

（1）求證：；

（2）如果，求證：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）由平行四邊形的性質得到BO=OD，由等量代換推出OE=OD，根據平行四邊形的判定即可得到結論；

（2）根據等角的余角相等，得到∠CEO=∠CDE，從而可證∠DBE=∠CDE，推出△BDE∽△CDE，即可得到結論．

證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴BO=OD，

∵OE=OB，

∴OE=OD，

∴∠OBE=∠OEB，∠OED=∠ODE，

∵∠OBE+∠OEB+∠OED+∠ODE=180°，

∴∠BEO+∠DEO=∠BED=90°，

∴DE⊥BE；

（2）∵OE⊥CD∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，

∴∠CEO=∠CDE，

∵OB=OE，

∴∠DBE=∠CDE，

∵∠BED=∠BED，

∴△BDE∽△DCE，

∴，

∵BD=2OB=2OE,

∴.