Question

【題目】用兩種方法證明“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”．
已知：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線．
求證：CD= AB．

證法1：如圖2，在∠ACB的內部作∠BCE=∠B，

CE與AB相交于點E．
∵∠BCE=∠B，
∴ ．
∵∠BCE+∠ACE=90°，
∴∠B+∠ACE=90°．
又∵ ，
∴∠ACE=∠A．
∴EA=EC．
∴EA=EB=EC，
即CE是斜邊AB上的中線，且CE= AB．
又∵CD是斜邊AB上的中線，即CD與CE重合，
∴CD= AB．
請把證法1補充完整，并用不同的方法完成證法2．

Answer 1

【答案】EC=EB；∠A+∠B=90°
【解析】解：證法1：如圖2，

在∠ACB的內部作∠BCE=∠B，
CE與AB相交于點E．
∵∠BCE=∠B，
∴EC=EB，
∵∠BCE+∠ACE=90°，
∴∠B+∠ACE=90°．
又∵∠A+∠B=90°，
∴∠ACE=∠A．
∴EA=EC．
∴EA=EB=EC，
即CE是斜邊AB上的中線，且CE= AB．
又∵CD是斜邊AB上的中線，即CD與CE重合，
∴CD= AB．
所以答案是：EC=EB；∠A+∠B=90°；
證法2：延長CD至點E，使得DE=CD，連接AE、BE．如圖3所示：

∵AD=DB，DE=CD．
∴四邊形ACBE是平行四邊形．
又∵∠ACB=90°，
∴四邊形ACBE是矩形．
∴AB=CE，
又∵CD= CE，
∴CD= AB．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直角三角形斜邊上的中線的相關知識，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．