Question

（2013•閘北區二模）已知：如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=6，AB=8，sinC=

4

5

，點P在射線DC上，點Q在射線AB上，且PQ⊥CD，設DP=x，BQ=y．
（1）求證：點D在線段BC的垂直平分線上；
（2）如圖2，當點P在線段DC上，且點Q在線段AB上時，求y關于x的函數解析式，并寫出定義域；
（3）若以點B為圓心、BQ為半徑的⊙B與以點C為圓心、CP為半徑的⊙C相切，求線段DP的長．

Answer 1

分析：（1）過D作DH⊥BC于H，得出四邊形ABHD是矩形，推出DH=AB，BH=AD，在Rt△DHC中，求出DC=10，HC=6，推出BH=HC=6即可；                     
（2）延長BA、CD相交于點S，根據三角形的中位線求出SD=DC=10，SA=AB=8，得出DP=x，BQ=y，SP=x+10，證△SPQ～△SAD，得出

SQ

SP

=

SD

SA

=

5

4

，求出SQ=

5

4

（x+10）即可；
（3）有三種情況：（ⅰ）當點P在線段DC上，且點Q在線段AB上時，只有可能兩圓外切，由BQ+CP=BC，-

5

4

x+

7

2

+10-x=12，求出x即可；（ⅱ）當點P在線段DC上，且點Q在線段AB的延長線上時，兩圓不可能相切，（ⅲ）當點P在線段DC的延長線上，且點Q在線段AB的延長線上時，得出BQ=

5

4

x-

7

2

，CP=x-10，若兩圓外切，BQ+CP=BC，即

5

4

x-

7

2

+x-10=12，若兩圓內切，|

5

4

x-

7

2

-（x-10）|=12，求出即可．

解答：（1）證明：過D作DH⊥BC于H，如圖①，
在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，
∴∠B=∠A=90°，∠BHD=90°，
∴四邊形ABHD是矩形，
∴DH=AB，BH=AD，
又∵AD=6，AB=8，
∴DH=8，BH=6，
在Rt△DHC中，sinC=

4

5

，設DH=4k=8，DC=5k
∴DC=10，HC=

102-82

=6，
∴BH=HC=6，
又∵DH⊥BC，
∴點D在線段BC的垂直平分線上．
     
（2）解：延長BA、CD相交于點S，如圖②，
∵AD∥BC且BC=12，
∴AD=

1

2

BC，
∴

SA

SB

=

SD

SC

=

AD

BC

=

1

2

，
∴SD=DC=10，SA=AB=8，
∵DP=x，BQ=y，SP=x+10，
∠S=∠S，∠SAD=∠SPQ=90°，
∴△SPQ～△SAD
∴

SQ

SP

=

SD

SA

=

5

4

，
∴SQ=

5

4

（x+10），
∴BQ=16-

5

4

（x+10），
∴所求的解析式為：y=-

5

4

x+

7

2

，定義域是0≤x≤

14

5

．

（3）解：有三種情況：
（ⅰ）當點P在線段DC上，且點Q在線段AB上時，只有可能兩圓外切，
由BQ+CP=BC，-

5

4

x+

7

2

+10-x=12，
解得：x=

2

3

，
（ⅱ）當點P在線段DC上，且點Q在線段AB的延長線上時，兩圓不可能相切，
（ⅲ）當點P在線段DC的延長線上，且點Q在線段AB的延長線上時，
此時BQ=

5

4

x-

7

2

，CP=x-10                             
若兩圓外切，BQ+CP=BC，即

5

4

x-

7

2

+x-10=12，
解得：x=

34

3

，
若兩圓內切，|BQ-CP|=BC，
即|

5

4

x-

7

2

-（x-10）|=12，

5

4

x-

7

2

-（x-10）=12，

5

4

x-

7

2

-（x-10）=-12，
x=22，x=-74（不合題意舍去），
綜上所述，⊙B與⊙C相切時，線段DP的長為

2

3

或

34

3

或22．

點評：本題考查了圓與圓的位置關系，勾股定理，三角形的中位線，函數的應用等知識點的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力，本題較好，有一定的難度．