Question

【題目】如圖，等邊△ABC的邊長為6，點P沿△ABC的邊從A→B→C運動，以AP為邊作等邊△APQ，且點Q在直線AB下方，當點P、Q運動到使△BPQ是等腰三角形時，點Q運動路線的長為_____．

Answer 1

【答案】3或9

【解析】

如圖，連接CP，BQ，由“SAS”可證△ACP≌△ABQ，可得BQ＝CP，可得點Q運動軌跡是A→H→B，分兩種情況討論，即可求解．

解：如圖，連接CP，BQ，

∵△ABC，△APQ是等邊三角形，

∴AP＝AQ＝PQ，AC＝AB，∠CAP＝∠BAQ＝60°，

∴△ACP≌△ABQ(SAS)

∴BQ＝CP，

∴當點P運動到點B時，點Q運動到點H，且BH＝BC＝6，

∴當點P在AB上運動時，點Q在AH上運動，

∵△BPQ是等腰三角形，

∴PQ＝PB，

∴AP＝PB＝3＝AQ，

∴點Q運動路線的長為3，

當點P在BC上運動時，點Q在BH上運用，

∵△BPQ是等腰三角形，

∴PQ＝PB，

∴BP＝BQ＝3，

∴點Q運動路線的長為3+6＝9，

故答案為：3或9．