Question

【題目】類比、轉化、從特殊到一般等思想方法，在數學學習和研究中經常用到，請看下面的案例．

（1）如圖1，已知△ABC，分別以AB、AC為邊，在BC同側作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接CD，BE．
通過證明△　ADC　≌△　ABE　，得到DC=BE；
（2）如圖2，四邊形ABCD中，點E，F，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點，順次連接E、F、G、H，得到四邊形EFGH，我們稱四邊形EFGH為四邊形ABCD的中點四邊形，連接BD，利用三角形中位線的性質，可得EH∥BD，EH= BD，同理可得FG∥BD，FG= BD，所以EH∥FG，EH=FG，所以四邊形EFGH是平行四邊形；

拓展應用
①如圖3，點P是四邊形ABCD內一點，且滿足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，點E，F，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點，猜想四邊形EFGH的形狀，并證明；
（3）若改變（2）中的條件，使∠APB=∠CPD=90°，其他條件不變，四邊形EFGH的形狀是 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，

∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，

∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，

在△ADC和△ABE中

，

∴△DAC≌△BAE（SAS），

∴DC=BE

（2）證明：四邊形EFGH為菱形；理由如下：

連接AC、BD，如圖3，

∵∠APB=∠CPD，

∴∠APB+APD=∠CPD+∠APD，即∠BPD=∠APC，

在△PBD和△APC中

，

∴△PBD≌△APC，

∴BD=AC，

∵HG= AC，HE= BD，

∴HG=HE，

∵四邊形HEFG為平行四邊形，

∴四邊形EFGH為菱形

（3）正方形
【解析】解： （3）AC與BD相交于點M，BD交AP于N，如圖3，

∵△PBD≌△APC，

∴∠PBD=∠PAC，

而∠ANM=∠BNP，

∴∠AMN=∠APB=90°，

∴AC⊥BD，

∵EH∥BD，HG∥AC，

∴EH⊥HG，

∴∠EHG=90°，

∵四邊形EFGH為菱形，

∴四邊形EFGH為正方形．

所以答案是：正方形．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解菱形的判定方法的相關知識，掌握任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形，以及對正方形的判定方法的理解，了解先判定一個四邊形是矩形，再判定出有一組鄰邊相等；先判定一個四邊形是菱形，再判定出有一個角是直角．