Question

如圖，在Rt△ACB中，∠C=90゜，點O為AB的中點，OE⊥OF交AC于E點、交BC于F點，EM⊥AB，FN⊥AB，垂足分別為M、N，
求證：AM=ON．

Answer 1

分析：首先連接連接OC，EF，易證得C，E，O，F四點共圓，又由圓周角定理與直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，證得∠A=∠EFO，繼而證得△EOF∽△EMA，可得

AM

EM

=

OF

EO

，易證得∴△EOM∽∠OFN，可得

ON

EM

=

OF

EO

，即可證得結論．

解答：證明：連接OC，EF，
∵在Rt△ACB中，∠C=90゜，OE⊥OF，
∴∠EOF=90°，
∴∠C+∠EOF=180°，
∴C，E，O，F四點共圓，
∴∠ECO=∠EFO，
∵點O為AB的中點，
∴OA=OC=OB=

1

2

AB，
∴∠A=∠ECO，
∴∠A=∠EFO，
∵EM⊥AB，
∴∠AME=∠EOF=90°，
∴△EOF∽△EMA，
∴

AM

EM

=

OF

EO

，
∵FN⊥AB，EM⊥AB，
∴∠FON+∠NFO=90°，
∴∠EOM+∠MEO=90°，
∵∠EOM+∠FON=90°，
∴∠MEO=∠FON，
∴△EOM∽∠OFN，
∴

ON

EM

=

OF

EO

，
∴

AM

EM

=

ON

EM

，
∴AM=ON．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、四點共圓以及直角三角形的性質．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用．