Question

已知：如圖所示，點C在線段AB上，分別以AC、BC為一邊作為等邊△ACM和等邊△BCN，連接AN、BM．
（1）求證：AN=BM；
（2）設AN、BM相交于點D，求證：∠ADB=120°；
（3）如果A、C、B三點不在同一直線上，那么AN=BM是否仍然成立？如果成立，加以證明；如果不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據等邊三角形的性質得到∠ACM=∠BCN=60°，CA=CM，CN=CB，可得到∠MCN=60°，則∠ACN=∠BCM=120°，然后根據“SAS”可證明△ACN≌△MCB，則AN=BM；
（2）由△ACN≌△MCB得到∠ANC=∠MBC，利用三角形外角性質得∠BCN=∠NAC+∠ANC=60°，則∠MBCC+∠NAC=60°，然后根據三角形內角和定理可計算出∠ADB=180°-（∠DAB+∠DBA）=180°-60°=120°；
（3）與（1）的證明方法一樣，還是有∠ACN=∠BCM，不等于120°，同樣可證得△ACN≌△MCB，得到AN=BM．

解答：（1）證明：∵△ACM和△BCN都是等邊三角形，
∴∠ACM=∠BCN=60°，CA=CM，CN=CB，
∴∠MCN=60°，
∴∠ACN=∠BCM=120°，
∵在△ACN和△MCB中，

CA=CM ∠ACN=∠MCB CN=CB

，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN=BM；

（2）證明：∵△ACN≌△MCB，
∴∠ANC=∠MBC，
∵∠BCN=∠NAC+∠ANC=60°，
∴∠MBCC+∠NAC=60°
∴∠ADB=180°-（∠DAB+∠DBA）=180°-60°=120°；

（3）解：AN=BM仍然成立．理由如下：
∵△ACM和△BCN都是等邊三角形，
∴∠ACM=∠BCN=60°，CA=CM，CN=CB，
∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠MCN，
∴∠ACN=∠BCM，
∵在△ACN和△MCB中，

CA=CM ∠ACN=∠MCB CN=CB

，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN=BM．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質：有兩組邊對應相等，且它們所夾的角也相等，那么這兩個三角形全等；全等三角形的對應邊相等，對應角相等．也考查了等邊三角形的性質．