Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+2ax+c交x軸于A，B兩點，交y軸于點C（0，3），tan∠OAC=．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點H是線段AC上任意一點，過H作直線HN⊥x軸于點N，交拋物線于點P，求線段PH的最大值；

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+3；（2）

【解析】（1）由點C的坐標以及tan∠OAC=．可得出點A的坐標，結合點A、C的坐標利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；

（2）設直線AC的解析式為y=kx+b，由點A、C的解析式利用待定系數法即可求出直線AC的解析式，設N（x，0）（-4<x<0），可找出H、P的坐標，由此即可得出PH關于x的解析式，利用配方法即二次函數的性質即可求出最值.

解：（1）∵C（0，3），

∴OC=3，

∵tan∠OAC=，

∴OA=4，

∴A（﹣4，0）．

把A（﹣4，0）、C（0，3）代入y=ax2+2ax+c中，

得 ，

解得： ，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+3．

（2）設直線AC的解析式為y=kx+b，

把A（﹣4，0）、C（0，3）代入y=kx+b中，

得： ，

解得： ，

∴直線AC的解析式為y=x+3．

設N（x，0）（﹣4＜x＜0），

則H（x， x+3），P（x，﹣x2﹣x+3），

∴PH=﹣x2﹣x+3﹣（x+3）=﹣x2﹣x=﹣（x+2）2+，

∵﹣＜0，

∴PH有最大值，

即當x=﹣2時，PH取最大值，最大值為．