Question

如圖，A，B，C三點在同一平面內，從山腳纜車站A測得山頂C的仰角為45°，測得另一纜車站B的仰角為30°，AB間纜繩長500米（自然彎曲忽略不計）．（，精確到1米）
（1）求纜車站B與纜車站A間的垂直距離；
（2）乘纜車達纜車站B，從纜車站B測得山頂C的仰角為60°，求山頂C與纜車站A間的垂直距離．

Answer 1

解：
（1）過B作BD⊥AM于點D．
在Rt△ADB中，，
∵∠BAD=30°，AB=500，
∴BD=AB•sin30°=250．
即纜車站B與纜車站A間的垂直距離為250米；

（2）過C作CF垂直于坡底的水平線AM，垂足為點F，
過B作BE∥AF，交CF于點E．
設山頂C與纜車站B間的垂直距離CE=x，
在Rt△CBE中，∠CBE=60°，
∴．
在Rt△ADB中，AD=AB•sin60°=250，
在Rt△CAF中，∠CAF=45°，
∴AF=CF．
又，
∴
解得，
．
答：山頂與纜車站A間的垂直距離約為683米．
分析：（1）利用30°的正弦值即可求得BD長；
（2）易得AF=CF，設CE為未知數，利用60°的正切值可求得BE長；利用AF=CF可求得CE長，加上（1）中BD長即為山頂C與纜車站A間的垂直距離．
點評：考查仰角的定義，能借助仰角構造直角三角形并解直角三角形是仰角問題常用的方法．