Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，AB=AC=8，BO=AB，點M為BC邊上一動點，將線段OM繞點O按逆時針方向旋轉90°至ON，連接AN、CN，則△CAN周長的最小值為________.

Answer 1

【答案】8+4.

【解析】

過點O作OB′⊥AB于點O，交BC于點B′，連接B′N并延長交AB于點E，易證△BOM≌△B′ON（SAS），∴點N始終在經過點B′且與BC垂直的射線上，因為△CAN周長=CA+AN+CN=8+ AN+CN，所以AN+CN值最小時，周長最小，屬于最短路徑問題，關鍵找點C關于B′E的對稱點C′，連接A C′，與B′E的交點N′即為周長最小時的點N，此時AN+CN=AC′，求出AC′的值即可求出周長最小值.

解：過點O作OB′⊥AB于點O，交BC于點B′，連接B′N并延長交AB于點E，∵Rt△ABC中，AB=AC，

∴∠OBB′=45°=∠OB′B，OB =OB′

又∵∠BOB′=∠MON=90°

∴∠BOM=∠B′ON

∴△BOM≌△B′ON（SAS）

∴∠OBB′=45°=∠OB′N，即∠BB′N=90°，OB′= OB=2，BB′=2 ，

∴點N始終在經過點B′且與BC垂直的射線上，

易證△BB′E是等腰直角三角形，BE=4，即BE=AE，

∵△CAN周長=CA+AN+CN=8+ AN+CN

∴AN+CN值最小時，周長最小，屬于最短路徑問題，

∴找點C關于B′E的對稱點C′，連接A C′，與B′E的交點N′即為周長最小時的點N，此時AN+CN=AC′，

等腰直角三角形△BB′E中， 由勾股定理得BB′=2，

等腰直角三角形△ABC中， BC=8 由三線合一得：BD=DC=AD=BC=4，

∴B′C=BC- BB′=8-2=6，由對稱性得：B′C=B′C′=6，

∴C′D=12-4=8，

即：Rt△AC′D中，A C′= ==4

∴△CAN周長的最小值=8+ AN+CN=8+4.