Question

【題目】如果兩個(gè)角的差的絕對(duì)值等于90°，就稱(chēng)這兩個(gè)角互為垂角，例如：∠1＝120°，∠2＝30°，|∠1﹣∠2|＝90°，則∠1和∠2互為垂角，（本題中所有角都是指大于0°且小于180°的角）

（1）如圖1所示，O為直線(xiàn)AB上一點(diǎn)，OC⊥AB，OE⊥OD，圖中哪些角互為垂角？（寫(xiě)出所有情況）

（2）如圖2所示，O為直線(xiàn)AB上一點(diǎn)，∠AOC＝60°，將∠AOC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°（0°＜n＜120），OA旋轉(zhuǎn)得到OA′，OC旋轉(zhuǎn)得到OC′，當(dāng)n為何值時(shí)，∠AOC′與∠BOA′互為垂角？

Answer 1

【答案】（1）互為垂角的角有4對(duì)：∠EOB與∠DOB，∠EOB與∠EOC，∠AOD與∠COD，∠AOD與∠AOE；（2）當(dāng)n＝15°或n＝105°，∠AOC′與∠BOA′互為垂角．

【解析】

（1）根據(jù)互為垂角的定義即可求解；

（2）分別表示出旋轉(zhuǎn)后∠AOC′和∠BOA′的度數(shù)，然后根據(jù)互為垂角定義列絕對(duì)值方程即可解答．

解：（1）互為垂角的角有4對(duì)：∠EOB與∠DOB，∠EOB與∠EOC，∠AOD與∠COD，∠AOD與∠AOE；

理由：∵OE⊥OD，OC⊥AB，

∴∠EOB﹣∠DOB＝∠EOD＝90°；∠EOB﹣∠EOC＝∠COB＝90°；∠AOD﹣∠COD＝∠AOC＝90°；∠AOD﹣∠AOE＝∠EOD＝90°；

（2）如圖：∵∠AOC＝60°，將∠AOC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°

∴∠AOC＝60°+n°，∠BOA′＝180°﹣n°

∴|（60°+n°）﹣（180°﹣n°）|＝90°

∴2n°﹣120°＝±90°，

∴n＝15°或n＝105°

將∠AOC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°或105°時(shí)，∠AOC′與∠BOA′互為垂角．