Question

如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊上的中點，閱讀下列材料，
（1）連接AC、BD，由三角形中位線的性質定理可證四邊形EFGH是________；
（2）對角線AC、BD滿足條件_______時，四邊形EFGH是矩形；
（3）對角線AC、BD滿足條件_______時，四邊形EFGH是菱形；
（4）對角線AC、BD滿足條件_________時，四邊形EFGH是正方形．

 

 

Answer 1

【解析】
（1）連接AC、BD．
∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊上的中點，
∴EF∥AC，EF=AC，FG∥BD，FG=BD，GH∥AC，GH=AC，EH∥BD，EH=BD．
∴EF∥HG，EF=GH，FG∥EH，FG=EH．
∴四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）要使四邊形EFGH是矩形，則需EF⊥FG，由（1）得，只需AC⊥BD；
（3）要使四邊形EFGH是菱形，則需EF=FG，由（1）得，只需AC=BD；
（4）要使四邊形EFGH是正方形，綜合（2）和（3），則需AC⊥BD且AC=BD．

 

【解析】

（1）根據三角形的中位線定理，可以證明所得四邊形的兩組對邊分別和兩條對角線平行，所得四邊形的兩組對邊分別是兩條對角線的一半，再根據平行四邊形的判定就可證明該四邊形是一個平行四邊形；（2）在（1）的基礎上，所得四邊形要成為矩形，則需有一個角是直角，故對角線應滿足互相垂直；（3）在（1）的基礎上，所得四邊形要成為菱形，則需有一組鄰邊相等，故對角線應滿足相等；（4）聯立（2）和（3），所得四邊形要成為正方形，則需對角線垂直且相等．