Question

如果一個圓的直徑和它的一條弦長分別為a、b，且這條弦的弦心距是正有理數，又已知a、b都是兩位正整數，它們的十位數字和個位數字剛好互換位置．則a²+b²的值是

 

．

Answer 1

分析：設a=10x+y，b=10y+x，0＜y＜x＜10，x，y∈N，根據這條弦的弦心距是正有理數即可求出a與b的值，從而得出答案．

解答：解：設a=10x+y，b=10y+x，0＜y＜x＜10，x，y∈N，
∵這條弦的弦心距是正有理數，
∴

( a 2 )2-( b 2 )2

∈正有理數，
即

3

2

11(x2-y2)

是有理數必有x²-y²=11×t²，t∈N，且x²-y²=11×t²≤81，
得t=1或2 當t=1時，符合條件的x、y為6、5，
即a=65，b=56，當t=2時，無符合條件的x、y，
綜上，a=65，b=56，
∴a²+b²=7361，
故答案為：7361．

點評：本題考查了完全平方數及十進制表示法，難度一般，關鍵是正確設出a，b的表示形式．