Question

【題目】在等腰直角三角形AOB中，已知AO⊥OB，點P、D分別在AB、OB上．

（1）∠A＝∠B＝　 　；

（2）如圖1中，若PO＝PD，∠OPD＝45°，證明△BOP是等腰三角形；

（3）如圖2中，若AB＝10，點P在AB上移動，且滿足PO＝PD，DE⊥AB于點E，試問：此時PE的長度是否變化？若變化，說明理由；若不變，求出PE的長．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）證明見解析；（3）PE的值不變，為5．

【解析】

（1）根據等腰直角三角形的定義可解答；

（2）由PO=PD，利用等邊對等角和三角形內角和定理可求得∠POD=67.5°，∠OPB=67.5°，然后利用等角對等邊可得出結論；

（3）過點O作OC⊥AB于C，首先利用等腰直角三角形的性質可以得到∠COB=∠B=45°，OC=5，然后證得∠POC=∠DPE，進而利用AAS證明△POC≌△DPE，再根據全等三角形的性質可得OC=PE．

（1）在等腰直角三角形AOB中，∠AOB＝90°

∴∠A＝∠B＝45°

故答案為：45°；

（2）證明：∵PO＝PD，∠OPD＝45°，

∴∠POD＝∠PDO＝＝67.5°，

由（1）知：∠B＝45°，

∴∠OPB＝180°﹣∠POB﹣∠B＝67.5°，

∴∠POD＝∠OPB，

∴BP＝BO，即△BOP是等腰三角形；

（2）PE的值不變，證明如下：

如圖2，過點O作OC⊥AB于C，

∵∠AOB＝90°，AO＝BO，

∴△BOC是等腰直角三角形，∠COB＝∠B＝45°，點C為AB的中點，

∴OC＝AB＝5，

∵PO＝PD，

∴∠POD＝∠PDO，

又∵∠POD＝∠COD+∠POC＝45°+∠POC，∠PDO＝∠B+∠DPE＝45°+∠DPE，

∴∠POC＝∠DPE，

在△POC和△DPE中，

，

∴△POC≌△DPE（AAS），

∴OC＝PE＝5，

∴PE的值不變，為5．