Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，的斜邊在直線上，且是的中點，點的坐標為.點在線段上從點向點運動，同時點在線段上從點向點運動，且.

（1）求的長及點的坐標.

（2）作交于點，作交于點，連結，，設.

①在，相遇前，用含的代數式表示的長.

②當為何值時，與坐標軸垂直.

（3）若交軸于點，除點與點重合外，的值是否為定值，若是，請直接寫出的值，若不是，請直接寫出它的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）BC=10，B（3,4）；（2）①；②和；（3）為定值；

【解析】

（1）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，設點B的坐標為，再利用勾股定理進行求解即可；

（2）①由勾股定理求出AB，AC的長，進而求出的值，再利用三角函數求解CE，CF的長即可得出EF的長；

②分兩種情況討論，當與軸垂直、與x軸垂直，根據相似三角形的性質進行求解即可；

（3）作輔助線如圖所示，根據，利用三角函數分別表示出CR和PI，進而表示出FN和PM即可求出．

（1）作，如圖，

設點坐標為，

∵點O是BC的中點，△ABC是直角三角形，

∴OA=OB=OC，

由勾股定理得：，

∴，

∴點的坐標為

∴OB=5，

∴BC=10，

（2）①解：在中，，，

∴，

由勾股定理得：，

∴，

∴，

，

∴.

②1.當與軸垂直時，則，如圖，

∴，

∴，

∴，

∴.

2.當與軸垂直時，則軸，如圖，

∴，作，

∵點與點關于點中心對稱，

∴，

∴，，

又，

∴

∴，

∴，

∴

綜上所述：當和時，與坐標軸垂直.

（3）為定值.

過點F作FR∥y軸，FN∥x軸,過點C作CK∥x軸，交FR于點R，CH∥y軸,過點P作MI∥x軸,如圖所示，

在Rt△BKC中，CK=6，BK=8，

∴，

在Rt△FRC中，

CR==，

∴FN=，

在Rt△CHA中，,

在Rt△CPI中，PI=，

∴，

∵PM∥FN，

,

故為定值．