Question

【題目】如圖，點A在線段BD上，在BD的同側作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，其中∠ABC=∠AED=90°，CD與BE、AE分別交于點P、M．對于下列結論：①△CAM∽△DEM；②CD=2BE；③MPMD=MAME；④2CB2=CPCM．其中正確的是（　�。�

A. ①②B. ①②③C. ①②③④D. ①③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

①求出∠CAM=∠DEM=90°，根據相似三角形的判定推出即可；

②求出△BAE∽△CAD，得出比例式，把AC=AB代入，即可求出答案；

③通過等積式倒推可知，證明△PME∽△AMD即可；

④2CB2轉化為AC2，證明△ACP∽△MCA，問題可證．

∵在BD的同側作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，∠ABC=∠AED=90°，

∴∠BAC=45°，∠EAD=45°，

∴∠CAE=180°-45°-45°=90°，

即∠CAM=∠DEM=90°，

∵∠CMA=∠DME，

∴△CAM∽△DEM，故①正確；

由已知：AC=AB，AD=AE，

∴，

∵∠BAC=∠EAD

∴∠BAE=∠CAD

∴△BAE∽△CAD，

∴，即，即CD=BE，故②錯誤；

∵△BAE∽△CAD

∴∠BEA=∠CDA

∵∠PME=∠AMD

∴△PME∽△AMD

∴，

∴MPMD=MAME，故③正確；

由②MPMD=MAME

∠PMA=∠DME

∴△PMA∽△EMD

∴∠APD=∠AED=90°

∵∠CAE=180°-∠BAC-∠EAD=90°

∴△CAP∽△CMA

∴AC2=CPCM

∵AC=AB，

∴2CB2=CPCM，故④正確；

即正確的為：①③④，

故選D．