Question

【題目】已知四邊形中，，，點是射線上一點，點是射線上一點，且滿足.

（1）如圖，當點在線段上時，若，在線段上截取，聯結.求證：；

（2）如圖，當點在線段的延長線上時，若，，，設，，求關于的函數關系式及其定義域；

（3）記與交于點，在（2）的條件下，若與相似，求線段的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2） ；（3） .

【解析】

(1)證明△EGB≌△FDE，根據全等三角形的性質即可證明.

(2) H為BC上一點，使四邊形ABHD為等腰梯形，連接DH，作BI⊥AD于點I，作HJ⊥AD于點J,作DK⊥BC于點K，根據∠A=∠ADH=∠DHC，∠ABC=∠BHD=∠HDC+∠C∠ABC=2∠C，得到∠HDC=∠C，由,得到HD=HC=AB=3,AI=DJ=HK=1,

則，求出 作∠ENF=∠A，證明△DFN∽△DHC，又△NEF∽△ABE，根據相似三角形的性質得到

DE=x-4，代入,即可求出關于的函數關系式及其定義域；

(3) 根據△EMF∽△EMF，得到∠AEB=∠EFM=∠EFN，則∠AEB=∠EDC=∠C，

在AE上截取PE=BP，∠AEB=∠PBE=∠APB，證明△APB∽△HDC,根據相似三角形的性質得到△ABP的三邊比為，即可求出BP=PE=，即可求出線段的長.

(1)證明：∵AD∥BC

∴∠A+∠ABC=180°,∠ADC+∠C=180°，

又∵∠A+∠1+∠2=180°，

又∵∠1=∠2

∴∠ABC=2∠1.

且∠ABC=2∠C，∴∠C=∠1，

∵∠BGE+∠1=180°

∴∠ADC=∠BGE，

∵∠A+∠ABE+∠AEB=180°，∠AEB+∠BEF+∠DEF=180°，

且∠A=∠BEF

∴∠ABE=∠DEF

∵AB=AD,AG=AE

∴BG=DE

∴△EGB≌△FDE

∴GE=DF.

(2)H為BC上一點，使四邊形ABHD為等腰梯形，連接DH，作BI⊥AD于點I，作HJ⊥AD于點J,作DK⊥BC于點K，

易得∠A=∠ADH=∠DHC，∠ABC=∠BHD=∠HDC+∠C

又∵∠ABC=2∠C，

∴∠HDC=∠C

∵ ,

∴HD=HC=AB=3,AI=DJ=HK=1,

∴

∴

作∠ENF=∠A，

∴∠DHC=∠A=∠ENF，

∵∠NDF=∠C,

∴△DFN∽△DHC，

又∵△NEF∽△ABE

∴

∴DE=x-4

∴

,

∴

(3)∵△EMF與△ABE相似，

此時只有△EMF∽△EMF

∴∠AEB=∠EFM=∠EFN

∴∠AEB= ∠EDC= ∠C

解△ABE,在AE上截取PE=BP，

∴∠AEB=∠PBE=∠APB

∴∠APB=∠C

∴△APB∽△HDC,

∴△ABP的三邊比為，

∴BP=PE=

∴AE=AP+PE=.