Question

【題目】如圖，菱形ABCD的邊長為20cm，∠ABC＝120°．動點P、Q同時從點A出發，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路線向點C運動；Q先以2cm/s的速度沿A→O的路線向點O運動，然后再以2cm/s的速度沿O→D的路線向點D運動，當P、Q到達終點時，整個運動隨之結束，設運動時間為t秒．

（1）在點P在AB上運動時，判斷PQ與對角線AC的位置關系，并說明理由；

（2）若點Q關于菱形ABCD的對角線交點O的對稱點為M，過點P且垂直于AB的直線l交菱形ABCD的邊AD（或CD）于點N．

①直接寫出當△PQM是直角三角形時t的取值范圍；

②是否存在這樣的t，使△PMN是以PN為一直角邊的直角三角形？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）PQ⊥AC，理由見解析；（2）①0＜t＜5或t＝7.5；②存在，t＝2或

【解析】

（1）利用相似三角形的性質解決問題即可．

（2）①分兩種情形分別求解即可．

②假設存在這樣的t，使得△PMN是以PN為一直角邊的直角三角形，但是需分點N在AD上時和點N在CD上時兩種情況分別討論．

（1）由題意AP＝4t，AQ＝2t．

則＝＝，

又∵AO＝10，AB＝20，

∴＝＝．

∴＝，

又∵∠CAB＝30°，

∴△APQ∽△ABO．

∴∠AQP＝∠AOB＝90°，即PQ⊥AC．

（2）①由（1）可知，當0＜t＜5時，如圖1中，∠PQM＝90°，△PQM是直角三角形，

當5＜t＜10時，如圖2中，當BP＝PC時，∠PMQ＝90°，此時t＝7.5，

綜上所述，當0＜t＜5或t＝7.5時，△PQM是直角三角形

②存在這樣的t，使△PMN是以PN為一直角邊的直角三角形．

設l交AC于H．

如圖1，當點N在AD上時，若PN⊥MN，則∠NMH＝30°．

∴MH＝2NH．得20﹣4t﹣t＝2×，解得t＝2．

如圖3，當點N在CD上時，若PM⊥PN，則PM∥CD，

∴∠BPM＝∠BCD＝60°，∠BMP＝∠BDC＝60°，

∵∠PBM＝60°，

∴△PBM是等邊三角形，

∵PB＝BM，

∴4t﹣20＝ [20﹣2×2（t﹣5）]，

解得t＝．

故當t＝2或時，存在以PN為一直角邊的直角三角形．