Question

已知：正方形的邊長為1，射線與射線交于點，射線與射線交于點，．

（1）如圖1，當點在線段上時，試猜想線段、、有怎樣的數量關系？并證明你的猜想．
（2）設，，當點在線段上運動時（不包括點、），如圖1，求關于的函數解析式，并指出的取值范圍．
（3）當點在射線上運動時（不含端點），點在射線上運動.試判斷以為圓心以為半徑的和以為圓心以為半徑的之間的位置關系.

（4）當點在延長線上時，設與交于點，如圖2．問△與△能否相似，若能相似，求出的值，若不可能相似，請說明理由．

Answer 1

(1)，證明見解析 (2)  (3)當點在線段上時，與外切；當點在延長線上時，與內切．（4）相似，所求的長為

（1）猜想：．                                                    (1分)

證明：將△繞著點按順時針方向旋轉，得△，
易知點、、在一直線上．圖1．                  (1分)
∵，
，
又，
∴△≌△
∴．                          (1分)
（2）由（1）得
又，，
∴                       (1分)
化簡可得 ．                                                 (1+1分)
（3）①當點在點、之間時，由（1）知 ，故此時與外切；(1分)
②當點在點時，，不存在．
③當點在延長線上時，
將△繞著點按順時針方向旋轉，得△，圖2．
有,,,
∴．
∴．
又，
∴△≌△．                                                       (1分)
∴．                                         (1分)
∴此時與內切．                                                      (1分)
綜上所述，當點在線段上時，與外切；當點在延長線上時，與內切．
（4）△與△能夠相似，只要當即可．
這時有．                                                            (1分)
設，，由（3）有
由，得．
化簡可得 ．                                                    (1分)
又由，得，即，化簡得，          (1分)
解之得，，（不符題意，舍去）                               (1分)
∴所求的長為．
（1）將△ADF繞著點A按順時針方向旋轉90°，得△ABF′，易知點F′、B、E在一直線上．證得AF′E≌△AFE．從而得到EF=F′E=BE+DF；
（2）由（1）得 EF=x+y再根據 CF=1-y，EC=1-x，得到（1-y）²+（1-x）²=（x+y）²．化簡即可得到y=（0＜x＜1）．
（3）當點E在點B、C之間時，由（1）知 EF=BE+DF，故此時⊙E與⊙F外切；當點E在點C時，DF=0，⊙F不存在．當點E在BC延長線上時，將△ADF繞著點A按順時針方向旋轉90°，得△ABF′，證得△AF′E≌△AFE．即可得到EF=EF′=BE-BF′=BE-FD．從而得到此時⊙E與⊙F內切．
（4）△EGF與△EFA能夠相似，只要當∠EFG=∠EAF=45°即可．這時有 CF=CE．設BE=x，DF=y，由（3）有EF=x-y．由 CE²+CF²=EF²，得（x-1）²+（1+y）²=（x-y）²．化簡可得 y=（x＞1）．又由 EC=FC，得x-1=1+y，即x-1=1+，化簡得x²-2x-1=0，解之即可求得BE的長．