Question

小麗剪了一些直角三角形紙片，她取出其中的幾張進行了如下的操作：
操作一：如圖1，將Rt△ABC沿某條直線折疊，使斜邊的兩個端點A與B重合，折痕為DE．
（1）如果AC=6cm，BC=8cm，試求△ACD的周長．
（2）如果∠CAD：∠BAD=4：7，求∠B的度數．
操作二：如圖2，小麗拿出另一張Rt△ABC紙片，將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，已知兩直角邊AC=6cm，BC=8cm，你能求出CD的長嗎？

Answer 1

解：操作一：
（1）由對稱性可得AD=BD，∵△ACD的周長=AC+CD+AD，
∴△ACD的周長=AC+CD+BD=AC+BC=8+6=14（cm）；

（2）設∠CAD=4x，∠BAD=7x由題意得方程：
7x+7x+4x=90，
解之得x=5，
所以∠B=35°；

操作二：∵AC=4cm，BC=8cm，
∴AB===10（cm），
根據折疊性質可得AC=AE=6cm，
∴BE=AB-AE=4，
設CD=x，則BD=8-x，DE=x，
在Rt△BDE中，由題意可得方程x²+4²=（8-x）²，
解之得x=3，
∴CD=3cm．
分析：操作一利用對稱找準相等的量：BD=AD，∠BAD=∠B，然后分別利用周長及三角形的內角和可求得答案；
操作二 利用折疊找著AC=AE，利用勾股定理列式求出AB，設CD=x，表示出BD，AE，在Rt△BDE中，利用勾股定理可得答案；
點評：本題考查了直角三角形中的勾股定理的應用及圖形的翻折問題；解決翻折問題時一般要找著相等的量，然后結合有關的知識列出方程進行解答．