Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形OADB的頂點A，B的坐標分別為A（﹣6，0），B（0，4）．過點C（﹣6，1）的雙曲線y=（k≠0）與矩形OADB的邊BD交于點E．

（1）填空：OA=　 ，k=　 　，點E的坐標為　 　；

（2）當1≤t≤6時，經過點M（t﹣1，﹣t2+5t﹣）與點N（﹣t﹣3，﹣t2+3t﹣）的直線交y軸于點F，點P是過M，N兩點的拋物線y=﹣x2+bx+c的頂點．

①當點P在雙曲線y=上時，求證：直線MN與雙曲線y=沒有公共點；

②當拋物線y=﹣x2+bx+c與矩形OADB有且只有三個公共點，求t的值；

③當點F和點P隨著t的變化同時向上運動時，求t的取值范圍，并求在運動過程中直線MN在四邊形OAEB中掃過的面積．

Answer 1

【答案】（1）6，﹣6，（﹣，4）；（2）①證明見解析；②t=或t=；③.

【解析】（1）根據題意將相關數據代入.

（2）①用t表示直線MN解析式，及b，c，得到P點坐標帶入雙曲線y=解析式，證明關于t的方程無解即可；

②根據拋物線開口和對稱軸，分別討論拋物線過點B和在BD上時的情況；

③由②中部分結果，用t表示F、P點的縱坐標，求出t的取值范圍及直線MN在四邊形OAEB中所過的面積．

解：（1）∵A點坐標為（﹣6，0）

∴OA=6

∵過點C（﹣6，1）的雙曲線y=

∴k=﹣6

y=4時，x=

∴點E的坐標為（﹣，4）

故答案為：6，﹣6，（﹣，4）

（2）①設直線MN解析式為：y1=k1x+b1

由題意得：

解得,

∵拋物線y=﹣過點M、N,

∴,

解得

∴拋物線解析式為：y=﹣x2﹣x+5t﹣2

∴頂點P坐標為（﹣1，5t﹣）

∵P在雙曲線y=﹣上

∴（5t﹣）×（﹣1）=﹣6

∴t=

此時直線MN解析式為：

聯立

∴8x2+35x+49=0

∵△=352﹣4×8×48=1225﹣1536＜0

∴直線MN與雙曲線y=﹣沒有公共點．

②當拋物線過點B，此時拋物線y=﹣x2+bx+c與矩形OADB有且只有三個公共點

∴4=5t﹣2，得t=

當拋物線在線段DB上，此時拋物線與矩形OADB有且只有三個公共點

∴，得t=

∴t=或t=

③∵點P的坐標為（﹣1，5t﹣）

∴yP=5t﹣

當1≤t≤6時，yP隨t的增大而增大

此時，點P在直線x=﹣1上向上運動

∵點F的坐標為（0，﹣）

∴yF=﹣

∴當1≤t≤4時，隨者yF隨t的增大而增大

此時，隨著t的增大，點F在y軸上向上運動

∴1≤t≤4

當t=1時，直線MN：y=x+3與x軸交于點G（﹣3，0），與y軸交于點H（0，3）

當t=4﹣時，直線MN過點A．

當1≤t≤4時，直線MN在四邊形AEBO中掃過的面積為

S=.