Question

【題目】如圖，在中，，是的外接圓，過點作的切線，交的延長線于點，交于點．

（1）求證：；

（2）填空：

①若，________；

②連接，當的度數為________時，四邊形是菱形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①，②．

【解析】

（1）連接OA，根據圓周角定理求出∠AOC=120°，得到∠OCA的度數，根據切線的性質求出∠M的度數，根據等腰三角形的性質得到答案；
（2）①作AG⊥CM于G，根據直角三角形的性質求出AG的長，根據勾股定理求出CG，得到答案．
②證明△ABM和△ABC是等邊三角形，得出AM=AC=BC=BM，即可得出結論．

解：（1）證明：連接，如圖1：

∵是的切線，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴；

（2）①作AG⊥CM于G，如圖2：

∵∠OCA=30°，AC=6，
∴AG=AC=3，
∴CG=AG=3，
則MC=2CG=6；
故答案為：6．
②當∠AMB的度數為60°時，四邊形AMBC是菱形；理由如下：
如圖3：

由（1）得：AM=AC，∠MAC=180°-∠AMC-∠OCA=120°，
∵∠AMB=60°，
∴∠MAC+∠AMB=180°，
∴AC∥BM，
∴∠ABM=∠BAC，
∴△ABM是等邊三角形，∠BAC=∠MAC-∠MAB=60°=∠ABC，
∴AM=BM，△ABC是等邊三角形，
∴BC=AC，
∴AM=AC=BC=BM，
∴四邊形AMBC是菱形；
故答案為：60°．