Question

23、如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑的半圓O，與斜邊AC交于D，E是BC邊上的中點，連接ED、BD．
（1）求證：△ABC∽△BCD
（2）DE與半圓O相切嗎？若相切，請給出證明；若不相切，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于AB為直徑，所以∠ADB=∠CDB=90°，所以∠ABC=∠CDB=90°，又因為∠C是公共角，所以△ABC∽△BDC．
（2）連接OD，由于OD=OB，所以∠ODB=∠OBD，因為E為Rt△BCD的斜邊BC的中點，所以CE=BD=DE，所以∠EDB=∠EBD，因為∠OBD+∠EBD=90°，所以∠ODB+∠EDB=90°，所以DE與半圓O相切．

解答：證明：（1）∵AB為直徑
∴∠ADB=∠CDB=90°，
∴∠ABC=∠CDB=90°，
又∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC．

（2）DE與半圓O相切，
連接OD，

∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∵E為Rt△BCD的斜邊BC的中點，
∴CE=BD=DE，
∴∠EDB=∠EBD，
∵∠OBD+∠EBD=90°，
∴∠ODB+∠EDB=90°，
∴DE與半圓O相切．

點評：本題主要考查了圓中三角形的相似的證明，在圓中，由垂徑定理和圓周角定理的結論，容易證得相等的角，所以容易證得其中的三角形全等或相似．