Question

【題目】如圖，正方形ABCD繞點B逆時針旋轉30°后得到正方形BEFG，EF與AD相交于點H，延長DA交GF于點K．若正方形ABCD邊長為 ，則AK= ．

Answer 1

【答案】2 ﹣3
【解析】解：連接BH，如圖所示：
∵四邊形ABCD和四邊形BEFG是正方形，
∴∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，
由旋轉的性質得：AB=EB，∠CBE=30°，
∴∠ABE=60°，
在Rt△ABH和Rt△EBH中，
，
∴Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL），
∴∠ABH=∠EBH= ∠ABE=30°，AH=EH，
∴AH=ABtan∠ABH= × =1，
∴EH=1，
∴FH= ﹣1，
在Rt△FKH中，∠FKH=30°，
∴KH=2FH=2（ ﹣1），
∴AK=KH﹣AH=2（ ﹣1）﹣1=2 ﹣3；
故答案為：2 ﹣3．

連接BH，由正方形的性質得出∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，由旋轉的性質得：AB=EB，∠CBE=30°，得出∠ABE=60°，由HL證明Rt△ABH≌Rt△EBH，得出∠ABH=∠EBH= ∠ABE=30°，AH=EH，由三角函數求出AH，得出EH、FH，再求出KH=2FH，即可求出AK．