Question

已知：在△ABC中，∠ACB=900，點P是線段AC上一點，過點A作AB的垂線，交BP的延長線于點M，MN⊥AC于點N，PQ⊥AB于點Q，A0=MN．
（1）如圖l，求證：PC=AN；
（2） 如圖2，點E是MN上一點，連接EP并延長交BC于點K，點D是AB上一點，連接DK，∠DKE=∠ABC，EF⊥PM于點H，交BC延長線于點F，若NP=2，PC=3，CK：CF=2：3，求DQ的長．

Answer 1

（1）證明見解析（2）

解：（1）證明：∵BA⊥AM，MN⊥AP，∴∠BAM=ANM=90°。
∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°，∴∠PAQ=∠AMN。
∵PQ⊥AB  MN⊥AC，∴∠PQA=∠ANM=90°。∴AQ=MN。∴△AQP≌△MNA（ASA）。
∴AN=PQ，AM=AP。∴∠AMB=∠APM。
∵∠APM=∠BPC∠BPC+∠PBC=90°，∠AMB+∠ABM=90°，∴∠ABM=∠PBC。
∵PQ⊥AB，PC⊥BC，∴PQ=PC（角平分線的性質）。∴PC=AN。
（2）∵NP=2  PC=3，∴由（1）知PC=AN=3。∴AP=NC=5，AC=8。
∴AM=AP=5。∴。
∵∠PAQ=∠AMN，∠ACB=∠ANM=90°，∴∠ABC=∠MAN。
∴。
∵，∴BC=6。
∵NE∥KC，∴∠PEN=∠PKC。
又∵∠ENP=∠KCP，∴△PNE∽△PCK。∴。
∵CK：CF=2：3，設CK=2k，則CF=3k。
∴，。
過N作NT∥EF交CF于T，

則四邊形NTFE是平行四邊形。
∴NE=TF=，∴CT=CF－TF=3k－。
∵EF⊥PM，∴∠BFH+∠HBF=90°=∠BPC+∠HBF。
∴∠BPC=∠BFH。
∵EF∥NT，∴∠NTC=∠BFH=∠BPC。
∴。
∴，。
∴CT= 。∴ 。∴CK=2×=3，BK=BC－CK=3。
∵∠PKC+∠DKC=∠ABC+∠BDK，∠DKE=∠ABC，∴∠BDK=∠PKC。
∴。∴tan∠BDK=1。
過K作KG⊥BD于G。
∵tan∠BDK=1，tan∠ABC=，∴設GK=4n，則BG=3n，GD=4n。
∴BK=5n=3，∴n=。∴BD=4n+3n=7n=。
∵，AQ=4，∴BQ=AB－AQ=6。
∴DQ=BQ－BD=6－= 。
（1）確定一對全等三角形△AQP≌△MNA，得到AN=PQ；然后推出BP為角平分線，利用角平分線的性質得到PC=PQ；從而得到PC=AN。
（2）由已知條件，求出線段KC的長度，從而確定△PKC是等腰直角三角形；然后在△BDK中，解直角三角形即可求得BD、DQ的長度。