Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm．點P從A出發，沿AB方向，以2cm/s的速度向點B運動，點Q從C出發，沿CA方向，以1cm/s的速度向點A運動；若兩點同時出發，當其中一點到達端點時，兩點同時停止運動，設運動時間為t（s），△APQ的面積為S（cm2）

（1）t=2時，則點P到AC的距離是 cm，S= cm2；

（2）t為何值時，PQ⊥AB；

（3）t為何值時，△APQ是以AQ為底邊的等腰三角形；

（4）求S與t之間的函數關系式，并求出S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；；（2）t=時，PQ⊥AB；（3）當t= 時，△APQ是以AQ為底邊的等腰三角形；（4）t=3時，S最大=．

【解析】

試題分析：（1）作PH⊥AC于H，根據平行線的性質得到比例式，計算求出點P到AC的距離，根據三角形的面積公式求出△APQ的面積；

（2）根據相似三角形的判定定理證明△APQ∽△ACB，根據相似三角形的性質列出比例式，計算即可；

（3）根據等腰三角形的三線合一和相似三角形的性質解答即可；

（4）根據題意列出二次函數解析式，運用配方法把一般式化為頂點式，根據二次函數的性質解答即可．

解：經過t（s），AP=2t，CQ=t，AQ=6﹣t，

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm

由勾股定理可求出AB=10cm，

（1）如圖1，作PH⊥AC于H，

當t=2時，AP=4cm，AQ=6﹣2=4cm，

∵∠C=90°，PH⊥AC，

∴PH∥BC，

∴=，即=，

解得PH=cm，

S=×AQ×PH=cm2．

故答案為；；

（2）當PQ⊥AB時，又∠C=90°，

∴△APQ∽△ACB，

∴=，即=，

解得t=．

答：t=時，PQ⊥AB；

（3）如圖1，當△APQ是以AQ為底邊的等腰三角形時，

AH=AQ，

∵△APQ∽△ACB，

∴=，即=，

解得AH=t，

∴t=（6﹣t），

解得，t=，

∴當t= 時，△APQ是以AQ為底邊的等腰三角形；

（4）∵△APQ∽△ACB，

∴=，即=，

解得，PH=t，

∴S=×AQ×PH=×t×（6﹣t）=﹣（t﹣3）2+，

∴t=3時，S最大=．