Question

【題目】如圖，在矩形中，，點是邊上的一個動點，將四邊形沿直線折疊，得到四邊形，點、的對應點分別為點、．直線交于點．

（1）求證：；

（2）連接，已知．

①如圖①，當，時，求的長度；

②如圖②，當四邊形為菱形時，請直接寫出的長度．

圖① 圖②

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①，②3．

【解析】

（1）根據折疊的性質和平行線的性質得：，則；

（2）先在Rt△BAH中根據勾股定理列方程計算的長，進而求出PH，再在Rt△PFH中求出FH即可；

（3）由四邊形為菱形結合（1）；可知△BEH為等邊三角形，結合30°三角形性質可得BE= ，進而根據折疊性質求出AD．

（1）證明：在矩形ABCD中，AD∥BC,

由將四邊形BCDE沿直線BE折疊，得到四邊形BEFG，

得，∠HBE=∠CBE，

∴∠HEB=∠CBE，

∴∠HBE=∠HEB，

∴EH=BH

(2)①∵AD=6，AE=AD，

∴AE=1，

∵EH=BH，

∴AH=EH-AH=BH-1

又在矩形ABCD中，∠BAD=90°,

∴∠BAH=90°．

在Rt△BAH中,,

∴，

∴．

由將四邊形BCDE沿直線BE折疊，得到四邊形BEFP，

得，BP=BC=AD=6,PF=CD=3,∠FPH=90°

∴，

在Rt△PFH中,．

②AD=3．

理由如下：由將四邊形BCDE沿直線BE折疊，得到四邊形BEFP，可知 ED=EF，

當四邊形為菱形時，則BH=BE=EF，

由（1）可知，EH=BH，

∴△BEH為等邊三角形，

∴∠ABE=60°，

∵∠EAB=90°，，

∴，，

∵AD=AE+ED，ED=EF,

∴