Question

【題目】已知如圖：△ABC中，∠B、∠C的平分線相交于點O，過點O作EF∥BC交AB、AC于E、F．

（1）圖中有幾個等腰三角形？試說明理由，并請指出EF與BE、CF間有怎樣的關系？

（2）若△ABC中，∠B的平分線與三角形外角∠ACG的平分線CO交于點O，過O點作OE∥BC交AB于E，交AC于F（如圖2），請直接寫出EF與BE、CF間的關系，不用證明.

Answer 1

【答案】（1）有2個等腰三角形分別是：等腰△OBE和等腰△OCF；（2）EF=BE-CF

【解析】試題分析:(1)根據角平分線的定義可得: ∠EBO＝∠CBO,∠FCO＝∠BCO,根據兩直線平行內錯角相等的性質可得:∠EOB＝∠CBO,∠FOC＝∠BCO,等量代換可得:∠EBO＝∠EOB,∠FCO＝∠FOC,利用等角對等邊可判定:BE=EO,FO=CF,所以△OBE和△OCF是等腰三角形,又因為EF=OE+OF,所以EF=BE+CF,

(2) 根據角平分線的定義可得: ∠EBO＝∠CBO,∠FCO＝∠OCG,根據兩直線平行內錯角相等的性質可得:∠EOB＝∠CBO,∠FOC＝∠OCG,等量代換可得:∠EBO＝∠EOB,∠FCO＝∠FOC,利用等角對等邊可判定:BE=EO,FO=CF,所以△OBE和△OCF是等腰三角形,又因為EF=OE－OF,所以EF=BE－CF.

試題解析:(1)有2個等腰三角形分別是:等腰△OBE和等腰△OCF,

理由如下：OB平分∠ABC，

∴∠ABO=∠OBC,

∵EF∥BC,

∴∠EOB=∠OBC,

∴∠ABO=∠EOB,

∴EO=EB,

∴△OBE是等腰三角形,

同理FO=FC,△OCF是等腰三角形,

∴EF=OE+OF=BE+CF,

（2）EF=BE-CF.