Question

【題目】如圖1，在△ABC中，ABAC，過AB上一點D作DE∥AC交BC于點E，以E為頂點，ED為一邊，作∠DEF∠A，另一邊EF交AC于點F．

（1）求證：四邊形ADEF為平行四邊形；

（2）當D為AB中點時，四邊形ADEF的形狀為 （直接寫出結論）；

（3）延長圖1中的DE到點G，使EGDE，連接AE，AG，FG，得到圖2．若ADAG，判斷四邊形AEGF的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）菱形；（3）四邊形AEGF是矩形，理由見解析

【解析】

（1）根據平行線的性質得到∠BDE=∠A，根據題意得到∠DEF=∠BDE，根據平行線的判定定理得到AD∥EF，根據平行四邊形的判定定理證明；

（2）根據三角形中位線定理得到DE=AC，得到AD=DE，根據菱形的判定定理證明；

（3）根據等腰三角形的性質得到AE⊥EG，根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形證明．

（1）證明：∵DE∥AC，

∴∠BDE=∠A，

∵∠DEF=∠A，

∴∠DEF=∠BDE，

∴AD∥EF，又∵DE∥AC，

∴四邊形ADEF為平行四邊形；

（2）解：ADEF的形狀為菱形，

理由如下：∵點D為AB中點，

∴AD=AB，

∵DE∥AC，點D為AB中點，

∴DE=AC，

∵AB=AC，

∴AD=DE，

∴平行四邊形ADEF為菱形，

故答案為：菱形；

（3）四邊形AEGF是矩形，

理由如下：由（1）得，四邊形ADEF為平行四邊形，

∴AF∥DE，AF=DE，

∵EG=DE，

∴AF∥DE，AF=GE，

∴四邊形AEGF是平行四邊形，

∵AD=AG，EG=DE，

∴AE⊥EG，

∴四邊形AEGF是矩形．