Question

【題目】若一個三位數滿足條件：其十位數字是百位數字的兩倍與個位數字的差，則稱這樣的三位數為“十全數”，將“十全數”s的百位數字與十位數字交換位置，交換后所得的新數叫做s的“十美數”，如231是一個“十全數”，321是231的“十美數”

（1）證明：任意一個“十全數”s的“十美數”都能被3整除；

（2）已知m為“十全數”，n是m的“十美數”，若m的兩倍與n的差能被13整除，求m的值

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）m為582或675或768.

【解析】

（1）首先應根據題目中所給的“十全數”和“十美數”的概念，將他們數表示出來．要說明“十美數”都能被3整除，則只需要證明到“十美數”是3的倍數即可．

（2）首先應根據題意表示出m、n，又因為m的兩倍與n的差能被13整除，所以m的兩倍與n的差必須是13的倍數．因此根據它們的范圍一一驗證即可求出最終m的值．

（1）設“十全數”s為100a+10×（2a﹣b）+b，∴s的“十美數”為100×（2a﹣b）+10a+b=210a﹣99b=3×（70a﹣33b），∴任意一個“十全數”s的“十美數”都能被3整除；

（2）設m為100x+10×（2x﹣y）+y，∴m的“十美數”為100×（2x﹣y）+10x+y=210x﹣99y，∴2[100x+10×（2x﹣y）+y]﹣[210x﹣99y]=30x+81y

∵m的兩倍與n的差能被13整除，∴2x+6y．

∵為整數，1≤x≤9，0≤y≤9，1≤2x﹣y≤9，∴x=1時，y=3，2x﹣y=﹣1（不合題意舍去），x=2時，y=6，2x﹣y=﹣2（不合題意舍去），x=3，4時，y的值不合題意，x=5時，y=2，2x﹣y=8，x=6時，y=5，2x﹣y=7，x=7時，y=8，2x﹣y=6，x=8、9時，y不合題意，∴m為582或675或768．