Question

在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的動點（不與A，B重合），過M點作MN∥BC交AC于點N．以MN為直徑作⊙O，并在⊙O內作內接矩形AMPN．令AM＝x．  

（1）用含x的代數式表示△ＭNP的面積S；     

（2）當x為何值時，⊙O與直線BC相切？       

（3）在動點M的運動過程中，記△ＭNP與梯形BCNM重合的面積為y，試求y關于x的函數表達式.

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．

  ∴ △AMN ∽ △ABC．

∴ ，即．

∴ AN＝x．          

∴ =．（0＜＜4） 

（2）如圖2，設直線BC與⊙O相切于點D，連結AO，OD，則AO =OD =MN．

在Rt△ABC中，BC ＝=5．

    由（1）知 △AMN ∽ △ABC．

∴ ，即．   

∴ ，

∴ ． 

過M點作MQ⊥BC 于Q，則． 

在Rt△BMQ與Rt△BCA中，∠B是公共角，

∴ △BMQ∽△BCA．

∴ ．

∴ ，

．

∴ x＝． 

∴ 當x＝時，⊙O與直線BC相切．

 

（3）隨點M的運動，當P點落在直線BC上時，連結AP，則O點為AP的中點．

∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．

∴ △AMO ∽ △ABP．  

∴ ． AM＝MB＝2． 

故以下分兩種情況討論：

① 當0＜≤2時，．  

② 當2＜＜4時，設PM，PN分別交BC于E，F．

∵ 四邊形AMPN是矩形，  

∴ PN∥AM，PN＝AM＝x．

又∵ MN∥BC，

∴ 四邊形MBFN是平行四邊形．

∴ FN＝BM＝4－x． 

∴ ．

又△PEF ∽ △ACB． 

∴ ．

∴ ．

    ＝．

【解析】（1）由于三角形PMN和AMN的面積相當，那么可通過求三角形AMN的面積來得出三角形PMN的面積，求三角形AMN的面積可根據三角形AMN和ABC相似，根據相似比的平方等于面積比來得出三角形AMN的面積；

（2）當圓O與BC相切時，O到BC的距離就是MN的一半，那么關鍵是求出MN的表達式，可根據三角形AMN和三角形ABC相似，得出MN的表達式，也就求出了O到BC的距離的表達式，如果過M作MQ⊥BC于Q，那么MQ就是O到BC的距離，然后在直角三角形BMQ中，用∠B的正弦函數以及BM的表達式表示出MQ，然后讓這兩表示MQ的含x的表達式相等，即可求出x的值；

（3）要求重合部分的面積首先看P點在三角形ABC內部還是外面，因此可先得出這兩種情況的分界線即當P落到BC上時，x的取值，那么P落點BC上時，MN就是三角形ABC的中位線，此時AM=2，因此可分兩種情況進行討論：

①當0＜x≤2時，此時重合部分的面積就是三角形PMN的面積，三角形PMN的面積（1）中已經求出，即可的x，y的函數關系式．②當2＜x＜4時，如果設PM，PN交BC于E，F，那么重合部分就是四邊形MEFN，可通過三角形PMN的面積-三角形PEF的面積來求重合部分的面積．不難得出PN=AM=x，而四邊形BMNF又是個平行四邊形，可得出FN=BM，也就有了FN的表達式，就可以求出PF的表達式，然后參照（1）的方法可求出三角形PEF的面積，即可求出四邊形MEFN的面積，也就得出了y，x的函數關系式．