Question

拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）過(guò)點(diǎn)A（1，-3），B（3，-3），C（-1，5），頂點(diǎn)為M點(diǎn)．
（1）求該拋物線的解析式．
（2）試判斷拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使∠POM=90°．若不存在，說(shuō)明理由；若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）試判斷拋物線上是否存在一點(diǎn)K，使∠OMK=90°，若不存在，說(shuō)明理由；若存在，求出K點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）將A（1，-3），B（3，-3），C（-1，5）三點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax²+bx+c中，列方程組求a、b、c的值，得出拋物線解析式；
（2）拋物線上存在一點(diǎn)P，使∠POM=90?．設(shè)（a，a²-4a），過(guò)P點(diǎn)作PE⊥y軸，垂足為E；過(guò)M點(diǎn)作MF⊥y軸，垂足為F，利用互余關(guān)系證明Rt△OEP∽R(shí)t△MFO，利用相似比求a即可；
（3）拋物線上必存在一點(diǎn)K，使∠OMK=90?．過(guò)頂點(diǎn)M作MN⊥OM，交y軸于點(diǎn)N，在Rt△OMN中，利用互余關(guān)系證明△OFM∽△MFN，利用相似比求N點(diǎn)坐標(biāo)，再求直線MN解析式，將直線MN解析式與拋物線解析式聯(lián)立，可求K點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）根據(jù)題意，得

a+b+c=-3 9a+3b+c=-3 a-b+c=5

，解得

a=1 b=-4 c=0

，
∴拋物線的解析式為y=x²-4x；

（2）拋物線上存在一點(diǎn)P，使∠POM=90?．
x=-

b

2a

=-

-4

2

=2，y=

4ac-b2

4a

=

-16

4

=-4，
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，-4），
設(shè)拋物線上存在一點(diǎn)P，滿足OP⊥OM，其坐標(biāo)為（a，a²-4a），
過(guò)P點(diǎn)作PE⊥y軸，垂足為E；過(guò)M點(diǎn)作MF⊥y軸，垂足為F．
則∠POE+∠MOF=90?，∠POE+∠EPO=90?．
∴∠EPO=∠FOM．
∵∠OEP=∠MFO=90?，
∴Rt△OEP∽R(shí)t△MFO．
∴OE：MF=EP：OF．
即（a²-4a）：2=a：4，
解得a₁=0（舍去），a₂=

9

2

，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（

9

2

，

9

4

）；

（3）過(guò)頂點(diǎn)M作MN⊥OM，交y軸于點(diǎn)N．則∠FMN+∠OMF=90?．
∵∠MOF+∠OMF=90?，
∴∠MOF=∠FMN．
又∵∠OFM=∠MFN=90?，
∴△OFM∽△MFN．
∴OF：MF=MF：FN． 即 4：2=2：FN．∴FN=1．
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，-5）．
設(shè)過(guò)點(diǎn)M，N的直線的解析式為y=kx+b，則

2k+b=-4 b=-5

，
解得

k= 1 2 b=-5

，∴直線的解析式為y=

1

2

x-5，
聯(lián)立

y= 1 2 x-5 y=x2-4x

得x²-

9

2

x+5=0，解得x₁=2，x₂=

5

2

，
∴直線MN與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)（其中一點(diǎn)為頂點(diǎn)M）．
另一個(gè)交點(diǎn)K的坐標(biāo)為（

5

2

，-

15

4

），
∴拋物線上必存在一點(diǎn)K，使∠OMK=90?．坐標(biāo)為（

5

2

，-

15

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是通過(guò)已知三點(diǎn)求拋物線解析式，根據(jù)垂直關(guān)系證明三角形相似，得出線段長(zhǎng)及點(diǎn)的坐標(biāo)，利用直線解析式及拋物線解析式求滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．