Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AE∥DC交BC于E，O是AC的中點，AB=，AD=2，BC=3，下列結(jié)論：

①∠CAE=30°；

②四邊形ADCE是菱形；

③S_△ADC=2S_△ADE；

④BO⊥CD，

其中正確結(jié)論的個數(shù)是

1. A.
   4個
2. B.
   3個
3. C.
   2個
4. D.
   1個

Answer 1

B
分析：根據(jù)已知采用分析法對各個結(jié)論進行分析從而得到最后答案．
解答：∵在直角三角形ABC中，AB=，BC=3
∴∠ACB=30°
∴∠BAC=60°．
∵AE∥DC，AD∥BC
∴四邊形AECD是平行四邊形
∴CE=AD=2
∴BE=1
∴∠BAE=30°
∴∠CAE=30°   ①正確；
∵∠CAE=∠ACE
∴AE=CE
∴平行四邊形AECD是菱形②正確；
∵△ADC和△ADE的面積都是菱形面積的一半，則③錯誤；
根據(jù)菱形的對角線平分一組對角，得∠BCD=60°
根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得OB=OC，則∠OBC=∠OCB=30°
∴∠OBC+∠BCD=90°則BO⊥CD．④正確．
所以有三個正確，故選B．
點評：此題要根據(jù)銳角三角函數(shù)根據(jù)已知的邊求得直角三角形中的未知邊，發(fā)現(xiàn)特殊的直角三角形．根據(jù)菱形的判定方法證明四邊形是菱形．