Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A和點B（3，0），與y軸交于點C（0，3），點D是拋物線的頂點，過點D作x軸的垂線，垂足為E，連接DB．

（1）求此拋物線的解析式及頂點D的坐標；

（2）點M是拋物線上的動點，設點M的橫坐標為m．

①當∠MBA=∠BDE時，求點M的坐標；

②過點M作MN∥x軸，與拋物線交于點N，P為x軸上一點，連接PM，PN，將△PMN沿著MN翻折，得△QMN，若四邊形MPNQ恰好為正方形，直接寫出m的值．

Answer 1

【答案】（1）（1，4）（2）①點M坐標（﹣，）或（﹣，﹣）；②m的值為 或

【解析】

（1）利用待定系數法即可解決問題；

（2）①根據tan∠MBA=，tan∠BDE==，由∠MBA=∠BDE，構建方程即可解決問題；②因為點M、N關于拋物線的對稱軸對稱，四邊形MPNQ是正方形，推出點P是拋物線的對稱軸與x軸的交點，即OP=1，易證GM=GP，即|-m2+2m+3|=|1-m|，解方程即可解決問題.

（1）把點B（3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，

得到，解得，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3，

∵y=﹣x2+2x﹣1+1+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴頂點D坐標（1，4）；

（2）①作MG⊥x軸于G，連接BM．則∠MGB=90°，設M（m，﹣m2+2m+3），

∴MG=|﹣m2+2m+3|，BG=3﹣m，

∴tan∠MBA=，

∵DE⊥x軸，D（1，4），

∴∠DEB=90°，DE=4，OE=1，

∵B（3，0），

∴BE=2，

∴tan∠BDE==，

∵∠MBA=∠BDE，

∴=，

當點M在x軸上方時， =，

解得m=﹣或3（舍棄），

∴M（﹣，），

當點M在x軸下方時， =，

解得m=﹣或m=3（舍棄），

∴點M（﹣，﹣），

綜上所述，滿足條件的點M坐標（﹣，）或（﹣，﹣）；

②如圖中，∵MN∥x軸，

∴點M、N關于拋物線的對稱軸對稱，

∵四邊形MPNQ是正方形，

∴點P是拋物線的對稱軸與x軸的交點，即OP=1，

易證GM=GP，即|﹣m2+2m+3|=|1﹣m|，

當﹣m2+2m+3=1﹣m時，解得m=，

當﹣m2+2m+3=m﹣1時，解得m=，

∴滿足條件的m的值為或.