Question

【題目】如圖，二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A（3，0），B（﹣1，0）兩點，與y軸相交于點C（0，﹣3）

（1）求該二次函數的解析式；
（2）設E是y軸右側拋物線上異于點A的一個動點，過點E作x軸的平行線交拋物線于另一點F，過點F作FG垂直于x軸于點G，再過點E作EH垂直于x軸于點H，得到矩形EFGH，則在點E的運動過程中，當矩形EFGH為正方形時，求出該正方形的邊長；
（3）設P點是x軸下方的拋物線上的一個動點，連接PA、PC，求△PAC面積的取值范圍，若△PAC面積為整數時，這樣的△PAC有幾個？

Answer 1

【答案】
（1）解：設拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣3），

把C（0，﹣3）代入得﹣3a=﹣3，解得a=1，

所以拋物線解析式為y=（x+1）（x﹣3），

即y=x2﹣2x﹣3

（2）解：拋物線的對稱軸為直線x=1，

設E（t，t2﹣2t﹣3），

當0＜t＜1時，如圖1，

EF=2（1﹣t），EH=﹣（t2﹣2t﹣3），

∵矩形EFGH為正方形，

∴EF=EH，即2（1﹣t）=﹣（t2﹣2t﹣3），

整理得t2﹣4t﹣1=0，解得t1=2+ （舍去），t2=2﹣ （舍去）；

當1＜t＜3時，如圖2，

EF=2（t﹣1），EH=﹣（t2﹣2t﹣3），

∵矩形EFGH為正方形，

∴EF=EH，即2（t﹣1）=﹣（t2﹣2t﹣3），

整理得t2﹣5=0，解得t1= ，t2=﹣ （舍去），

此時正方形EFGH的邊長為2 ﹣2；

當t＞3時，EF=2（t﹣1），EH=t2﹣2t﹣3，

∵矩形EFGH為正方形，

∴EF=EH，即2（t﹣1）=t2﹣2t﹣3，

整理得t2﹣4t﹣1=0，解得t1=2+ ，t2=2﹣ （舍去），

此時正方形EFGH的邊長為2 +2，

綜上所述，正方形EFGH的邊長為2 ﹣2或2 +2

（3）解：設P（x，x2﹣2x﹣3），

當﹣1＜x＜0時，

∵S△ABC= ×4×3=6，

∴0＜S△APC＜6，

當0＜x＜3時，作PM∥y軸交AC于點M，如圖3，

易得直線AC的解析式為y=x﹣3，則M（x，x﹣3），

∴PM=x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x，

∴S△APC= 3（﹣x2+3x）

=﹣ x2+ x

=﹣ （x﹣ ）2+ ，

當x= 時，S△APC的面積的最大值為 ，即0＜S△APC＜ ，

綜上所述，0＜S△APC＜6，

∴△PAC面積為整數時，它的值為1、2、3、4、5，即△PAC有5個．

【解析】（1）設拋物線的交點式為y=a（x+1）（x﹣3），然后把C點的坐標代入即可；（2）設E（t，t2﹣2t﹣3），討論：當0＜t＜1時，如圖1，EF=2（1﹣t），EH=﹣（t2﹣2t﹣3），利用正方形的性質得2（1﹣t）=﹣（t2﹣2t﹣3），當1＜t＜3時，如圖2，利用正方形的性質得2（t﹣1）=﹣（t2﹣2t﹣3），然后分別解方程得到滿足條件的t的值，再計算出對應的正方形的邊長；（3）設P（x，x2﹣2x﹣3），討論：當﹣1＜x＜0時，由于S△ABC= 6，則0＜S△APC＜6，當0＜x＜3時，作PM∥y軸交AC于點M，如圖3，求出直線AC的解析式為y=x﹣3，則M（x，x﹣3），利用三角形的面積公式得S△APC= 3（﹣x2+3x），利用二次函數的性質得0＜S△APC＜ ，所以0＜S△APC＜6，于是得到△PAC面積為整數時，它的值為1、2、3、4、5，即△PAC有5個．
【考點精析】通過靈活運用確定一次函數的表達式和二次函數的性質，掌握確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚ΨQ軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．