Question

心理學家研究發現，一般情況下，一節課40分鐘中，學生的注意力隨教師講課的變化而變化．開始上課時，學生的注意力逐步增強，中間有一段時間學生的注意力保持較為理想的穩定狀態，隨后學生的注意力開始分散．經過實驗分析可知，學生的注意力指標數y隨時間x（分鐘）的變化規律如下圖所示（其中AB、BC分別為線段，CD為雙曲線的一部分）：
（1）開始上課后第五分鐘時與第三十分鐘時相比較，何時學生的注意力更集中？
（2）一道數學競賽題，需要講19分鐘，為了效果較好，要求學生的注意力指標數最低達到36，那么經過適當安排，老師能否在學生注意力達到所需的狀態下講解完這道題目？

Answer 1

分析：（1）先用代定系數法分別求出AB和CD的函數表達式，再分別求第五分鐘和第三十分鐘的注意力指數，最后比較判斷；
（2）分別求出注意力指數為36時的兩個時間，再將兩時間之差和19比較，大于19則能講完，否則不能．

解答：解：（1）設線段AB所在的直線的解析式為y₁=k₁x+20，
把B（10，40）代入得，k₁=2，
∴y₁=2x+20．
設C、D所在雙曲線的解析式為y₂=

k2

x

，
把C（25，40）代入得，k₂=1000，
∴y2=

1000

x

當x₁=5時，y₁=2×5+20=30，
當x1=30時，y2=

1000

30

=

100

3

，
∴y₁＜y₂
∴第30分鐘注意力更集中．

（2）令y₁=36，
∴36=2x+20，
∴x₁=8
令y₂=36，
∴36=

1000

x

，
∴x2=

1000

36

≈27.8
∵27.8-8=19.8＞19，
∴經過適當安排，老師能在學生注意力達到所需的狀態下講解完這道題目．

點評：主要考查了函數的應用．解題的關鍵是根據實際意義列出函數關系式，從實際意義中找到對應的變量的值，利用待定系數法求出函數解析式，再根據自變量的值求算對應的函數值．