Question

【題目】已知，數軸上有兩點A、B對應的數分別為1，5，點P為數軸上一動點，其對應的數為x．

（1）若點P到點A、B的距離相等，求點A、B的距離及x的值．

（2）數軸上是否存在點P，使得點P到點A、B的距離之和最小？若存在，請求出最小值；并求出取得最小值時x可以取的整數值；若不存在，說明理由．

（3）點A、B分別以3個單位長度/秒，2個單位長度/秒的速度向右運動，同時點P以4個單位長度/秒的速度從O點向左運動，當遇到A時，點P立即以不變的速度向右運動，當遇到B時，點P立即以不變的速度向左運動，并不停往返于點A與點B之間，求當點A與點B重合時，點P所經過的總路程是多少？

Answer 1

【答案】（1）1，5，2；（2）存在，最小值為6，x可以取的整數值有1、0、1、2、3、4、5；（3）48

【解析】

（1）根據數軸上的兩點距離公式和中點公式列式求解即可；

（2）分類討論點P分別在點A左側、點A、點B之間、點B右側時分別求出，進行比較即可求出最小值；

（3）設經過t分鐘點A與點B重合，根據點A比點B運動的距離多6，列出方程，求出t的值，即為點P的運動時間，再乘以點P運動的速度，即可得點P所經過的總路程．

解：（1）∵點A、B對應的數分別為1，5，

∴，即點A、B的距離為6；

∵點P到點A、B的距離相等，則P為AB中點，

則有：，所以；

（2）數軸上存在點P，使得點P到點A、B的距離之和最小，

當點P在點A左側時，點P到點A、B的距離之和為：PA+PB=2PA+AB=2PA+6，

當點P在點A、點B之間時，點P到點A、B的距離之和為：PA+PB=AB=6，

當點P在點B右側時，點P到點A、B的距離之和為：PA+PB=2PB+AB=2PA+6，

所以當點P在點A、點B之間時（含點A、點B），點P到點A、B的距離之和最小，最小值為6，

點A、點B之間的整數值有1、0、1、2、3、4、5，即為x可以取的整數值；

（3）設經過t分鐘點A與點B重合，依題意得：

1+3t=5+2t+6，解得：t=12，

所以4t=4×12=48，

所以點P所經過的總路程是48個單位長度．