Question

（2012•宜昌二模）如圖，矩形ABCD頂點坐標分別是A（-1，2），B（1，2），C（1，-2），D（-1，-2），點P是邊長CD上的動點，以P為頂點的拋物線y=a（x-h）²+k（a為大于0的常數）和邊AD、BC分別交于點E、F，和y軸交于點H，連接EF和y軸交于點G．．
（1）直接寫出k的值，并用a，h表示點E，F的坐標；
（2）當CF=4DE時，求點p的坐標；
（3）設DE+FC=t，當t的最小值為2時，求GH的長度．

Answer 1

分析：（1）根據CD兩點的縱坐標可直接得出P點縱坐標，故可得出k的值；將x=1和x=-1的值代入拋物線表達式即可得出E、F兩點的坐標；
（2）由（1）中E、F及已知中C、D兩點的坐標可得出ED及FC的長，再由CF=4DE可得出關于h的方程，求出h的值，進而可得出P點坐標；
（3）由DE+FC=t，ED=a（h+1）²，FC=a（h-1）²可用a、h表示出t的值，再由h的取值范圍當h=0時，t的最小值是2a，由的最小值是2可求出a的值，設直線EF的表達式是y=mx+n，將點E，F的坐標代入得直線EF的表達式即可求出直線EF的表達式，故可得出HG兩點的坐標，故可得出GH的長．

解答：解：（1）∵C（1，-2），D（-1，-2），
∴P點的縱坐標為-2，
∴k=-2，
將x=1和x=-1的值代入拋物線表達式得：
E（-1，a（h+1）²-2），F（1，a（h-1）²-2）；

（2）∵C（1，-2），D（-1，-2），
∴ED=a（h+1）²，FC=a（h-1）²，
當CF=4DE時，a（h-1）²=4a（h+1）²，
解方程得：h=

1

3

，即P（-

1

3

，-2）；

（3）∵t=DE+FC=2ah²+2a，
∵-1≤h≤1，
∴當h=0時，t的最小值是2a，
而已知t的最小值是2，
∴2a=2，a=1，
設直線EF的表達式是y=mx+n，
將點E，F的坐標代入得直線EF的表達式是：y=-2hx+h²-1，
∴點H（0，h²-2），G（0，h²-1），
∴GH=1．

點評：本題考查的是二次函數綜合題，熟知矩形的性質、用待定系數法求一次函數的解析式、二次函數的性質等相關知識是解答此題的關鍵．