Question

【題目】（1）數學愛好者小森偶然閱讀到這樣一道競賽題：

一個圓內接六邊形ABCDEF，各邊長度依次為 3，3，3，5，5，5，求六邊形ABCDEF的面積．

小森利用“同圓中相等的弦所對的圓心角相等”這一數學原理，將六邊形進行分割重組，得到圖③．可以求出六邊形ABCDEF的面積等于 ．

（2）類比探究：一個圓內接八邊形，各邊長度依次為2，2，2，2，3，3，3，3．求這個八邊形的面積．請你仿照小森的思考方式，求出這個八邊形的面積．

Answer 1

【答案】（1）（2）13+12．

【解析】

試題分析：（1）如圖③，利用六邊形ABCDEF每次繞圓心O旋轉120°都和原來的圖形重合可判斷△MNQ為等邊三角形，△MAF、△NBC和△QDE都是等邊三角形，然后根據等邊三角形的面積公式求解；

（2）先畫出分割重組的圖形，如圖⑤，利用八邊形ABCDEFGH為軸對稱圖形，每次繞圓心O旋轉90°都和原來的圖形重合，可判斷四邊形PQMN為正方形，△PAB、△GCD、△MEF、△NHG都是等腰直角三角形，根據根據正方形的性質和等腰直角三角形的性質求解．

試題解析：（1）如圖③，∵六邊形ABCDEF為軸對稱圖形，每次繞圓心O旋轉120°都和原來的圖形重合，∴△MNQ為等邊三角形，△MAF、△NBC和△QDE都是等邊三角形，

∴NQ=3+5+3=11，

∴六邊形ABCDEF的面積=S△MNQ﹣3S△AMN

=×112﹣3××32

=；

故答案為．

（2）如圖⑤，∵八邊形ABCDEFGH為軸對稱圖形，每次繞圓心O旋轉90°都和原來的圖形重合，

∴四邊形PQMN為正方形，△PAB、△GCD、△MEF、△NHG都是等腰直角三角形，

∴PA=AB=，PN=+3+=3+2，

∴這個八邊形的面積=（3+2）2﹣4×××=9+12+8﹣4=13+12．