Question

【題目】已知，如圖1：△ABC中，∠B、∠C的平分線相交于點O，過點O作EF∥BC交AB、AC于E、F．

（1）直接寫出圖1中所有的等腰三角形，并指出EF與BE、CF間有怎樣的數量關系？
（2）在（1）的條件下，若AB=10，AC=15，求△AEF的周長．
（3）如圖2，若△ABC中，∠B的平分線與三角形外角∠ACG的平分線CO交于點O，過O點作OE∥BC交AB于E，交AC于F，請問（1）中EF與BE、CF間的關系還是否存在，若存在，說明理由；若不存在，寫出三者新的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：有2個等腰三角形分別是:等腰△OBE和等腰△OCF,
EF=BE+CF．
（2）解：△AEF的周長為AE+AF+EF=AE+AF+OE+OF=AE+AF+BE+CF=AB+AC=25
（3）解：（1）中EF與BE,CF間的關系不存在,新的數量關系為:EF=BE－CF,
證明:由BO平分∠ABC及OE∥BC可證BE=EO,
由CO平分∠ACG及OE∥BC可證CF=FO,
而EO=EF+OF,則EF=EO－OF=BE－CF
【解析】（1） 根據已知條件∠B、∠C的平分線相交于點O，及EF∥BC，可證得∠EBO=∠EOB，∠FCO=∠FOC，得出OE=BE，OF=FC，即可證得△OBE和△OCF是等腰三角形，及EF=BE+CF。
（2）由（1）可知EF=BE+CF，得出△AEF的周長=AB+AC，代入計算即可得出結果。
（3）根據已知條件可知新的數量關系為:EF=BE－CF，先證明BE=EO，CF=FO，再由EO=EF+OF，就可得出EF==BE－CF。