Question

已知關于x的方程x²+（2k+1）x+k²-

3

4

=0有兩個不相等的實數根x₁、x₂．
（1）求實數k的取值范圍．
（2）是否存在這樣的實數k，使x₁²+x₂²=

1

2

？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據判別式的意義得到△=（2k+1）²-4×（k²-

3

4

）＞0，然后解不等式即可；
（2）根據根與系數的關系得到x₁+x₂=-（2k+1），x₁•x₂=k²-

3

4

，利用x₁²+x₂²=

1

2

得到（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=

1

2

，所以（2k+1）²-2（k²-

3

4

）=

1

2

，然后解出k的值后利用（1）中的條件進行判斷．

解答：解：（1）根據題意得△=（2k+1）²-4×（k²-

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）＞0，
解得k＞-1；

（2）不存在．理由如下：
x₁+x₂=-（2k+1），x₁•x₂=k²-

3

4

，
∵x₁²+x₂²=

1

2

，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=

1

2

，
∴（2k+1）²-2（k²-

3

4

）=

1

2

，
∴k=-1，
∵k＞-1，
∴不存在這樣的實數k，使x₁²+x₂²=

1

2

．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了一元二次方程的根與系數的關系．