Question

【題目】如圖，△ABC的兩條角平分線BD、CE交于O，且∠A=60°，則下列結論中不正確的是（ ）

A．∠BOC=120° B．BC=BE+CD C．OD=OE D．OB=OC

Answer 1

【答案】D

【解析】

試題分析：根據三角形的內角和等于180°求出∠ABC+∠ACB=120°，再根據角平分線的性質求出∠OBC+∠OCB=60°，然后利用三角形的內角和等于180°列式計算即可求出∠BOC的度數；

連接OA，作OF⊥AB于點F，OG⊥AC于點G，OH⊥BC于點H，根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得OF=OG=OH，從而可得△BOF和△BOH全等，△COG和△COH全等，根據全等三角形對應邊相等可得BH=BF，CH=CG，再根據四邊形的內角和求出∠FOG=120°，根據對頂角相等求出∠EOD=120°，然后推出∠EOF=∠DOG，再利用“角邊角”證明△EOF和△DOG全等，根據全等三角形對應邊相等可得EF=DG，OD=OE，即可判定出B、C選項都正確，根據等角對等邊的性質，只有∠ABC=∠ACB時才能得到OB=OC，所以D選項錯誤．

解：∵∠A=60°，

∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣60°=120°，

∵△ABC的兩條角平分線BD、CE交于O，

∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，

∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=120°，故A選項正確；

如圖，連接OA，作OF⊥AB于點F，OG⊥AC于點G，OH⊥BC于點H，

∵△ABC的兩條角平分線BD、CE交于O，

∴OF=OG=OH，

利用“HL”可得△BOF≌△BOH，△COG≌△COH，

∴BH=BF，CH=CG，

在四邊形AFOG中，∠FOG=360°﹣60°﹣90°×2=120°，

∴DOG=∠FOG﹣∠DOF=120°﹣∠DOF，

又∵∠EOD=∠BOC=120°，

∴∠EOF=∠EOD﹣∠DOF=120°﹣∠DOF，

∴∠EOF=∠DOG，

在△EOF和△DOG中，，

∴△EOF≌△DOG（ASA），

∴EF=DG，OD=OE，故C選項正確；

∴BC=BH+CH=BF+CG=BE+EF+CD﹣DG=BE+CD，

即BC=BE+CD，故B選項正確；

只有當∠ABC=∠ACB時，∵△ABC的兩條角平分線BD、CE交于O，

∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，

∴∠OBC=∠OCB，

∴OB=OC，

而本題無法得到∠ABC=∠ACB，

所以，OB=OC不正確，故D選項錯誤．

故選D．