Question

【題目】已知在平面直角坐標系中點A（a，b），點B（a，0）的坐標滿足|a-b|+（a-4）2=0

（1）求點A、點B的坐標；

（2）已知點C（0，b），點P從B點出發沿x軸負方向以1個單位每秒的速度移動，同時，點Q從C點出發，沿y軸負方向以1.5個單位每秒的速度移動．某一時刻，如圖①所示，且S陰=S四邊形OCAB，求點P移動的時間；

（3）在（2）的條件和結論下，如圖②所示，設AQ交軸于點M，作∠ACO、∠AMB的角平分線交于點N，求此時的值．

Answer 1

【答案】（1）A（4，6），B（4，0）；（2）6；（3）.

【解析】

（1）根據非負數的性質，根據方程組即可解決問題；

（2）設點P的運動時間為t秒．則BP=t，CQ=1.5t，QH=AC=4，AH=CQ=1.5t，根據S陰=S△APB+S矩形OBHQ-S△AQH，構建方程即可解決問題；

（3）由（2）可知，BP=t=6=AB，推出△ABP為等腰直角三角形，推出∠APB=45°，由CN平分∠ACQ，MN平分∠AMB，推出∠ACN=×90°=45°，∠BMN=∠AMB，推出∠APB=∠ACN=45°，過點N作NG∥AC，則∠CNG=∠ACN=45°=∠APB，可得∠GNM=∠NMB=∠AMB，推出∠CNM-∠APB=∠CNM-45°=∠CNM-∠CNG=∠GNM=∠NMB=∠AMB，即可得出結論．

（1）∵|a-b|+（a-4）2=0

∴|a-b|≥0，（a-4）2≥0，

∴，

解得，

∴A（4，6），B（4，0）．

（2）由（1）可知，C（0，6），四邊形OCAB是矩形，AC=4，AB=6，

過點Q作QH⊥AB于H．

設點P的運動時間為t秒．則BP=t，CQ=1.5t，QH=AC=4，AH=CQ=1.5t，

S陰=S△APB+S矩形OBHQ-S△AQH

=×6t+4（1.5t-6）-×4×1.5t

=6t-24，

∵S陰=S四邊形OCAB，

∴6t-24=×4×6，

∴t=6．

（3）由（2）可知，BP=t=6=AB，

∴△ABP為等腰直角三角形，

∴∠APB=45°，

∵CN平分∠ACQ，MN平分∠AMB，

∴∠CN=×90°=45°，∠BMN=∠AMB，

∴∠APB=∠ACN=45°，

過點N作NG∥AC，則∠CNG=∠ACN=45°=∠APB

∵AC∥x軸，NG∥x軸，

∴∠GNM=∠NMB=∠AMB，

∴∠CNM-∠APB=∠CNM-45°=∠CNM-∠CNG=∠GNM=∠NMB=∠AMB，

∴=．