Question

【題目】在正方形ABCD中，點E為對角線AC（不含點A）上任意一點，AB=；

（1）如圖1，將△ADE繞點D逆時針旋轉90°得到△DCF，連接EF；

①把圖形補充完整（無需寫畫法）； ②求的取值范圍；

(2)如圖2，求BE+AE+DE的最小值．

Answer 1

【答案】（1）①補圖見解析；②；（2）

【解析】

（1）①根據要求畫出圖形即可；

②首先證明∠ECF＝90°，設AE＝CF＝x，EF2＝y，則EC＝4x，在Rt△ECF中，利用勾股定理即可解決問題；

（2）如圖2中，將△ABE繞點A順時針旋轉60°得到△AFG，連接EG，DF．作FH⊥AD于H．根據兩點之間線段最短可得DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，推出AE＋BE＋DE的最小值為線段DF的長；

（1）①如圖△DCF即為所求；

②∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC＝AB＝2，∠B＝90°，∠DAE＝∠ADC＝45°，

∴AC＝＝AB＝4，

∵△ADE繞點D逆時針旋轉90°得到△DCF，

∴∠DCF＝∠DAE＝45°，AE＝CF，

∴∠ECF＝∠ACD＋∠DCF＝90°，

設AE＝CF＝x，EF2＝y，則EC＝4x，

∴y＝（4x）2＋x2＝2x28x＋160（0＜x≤4）．

即y＝2（x2）2＋8，

∵2＞0，

∴x＝2時，y有最小值，最小值為8，

當x＝4時，y最大值＝16，

∴8≤EF2≤16．

（2）如圖中，將△ABE繞點A順時針旋轉60°得到△AFG，連接EG，DF．作FH⊥AD于H．

由旋轉的性質可知，△AEG是等邊三角形，

∴AE＝EG，

∵DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，

∴AE＋BE＋DE的最小值為線段DF的長．

在Rt△AFH中，∠FAH＝30°，AB＝=AF，

∴FH＝AF＝，AH＝＝，

在Rt△DFH中，DF＝＝，

∴BE＋AE＋ED的最小值為．