Question

如圖1，正方形ABCD和正方形QMNP，M是正方形ABCD的對稱中心，邊MN與邊AB交于F，邊AD與邊QM交于E．
（1）在圖1中，求證：AE+AF=
（2）如圖2，若將原題中的“正方形”改為“菱形”，且∠QMN=∠CBA=60°其他條件不變，則在圖2中線段AE，AF與MA的關系為______，
（3）在（2）的條件下，若菱形MNPQ在繞著點M運動的過程中，點E，F分別在邊AD，AB所在直線上時，已知菱形ABCD的邊長為4，AE=1求△AFM的面積

Answer 1

解：（1）∵正方形ABCD和正方形QMNP，M為正方形ABCD的中心，
∴∠MDA=∠BAM=45°，MD=MA，∠AMD=∠QMN=90°，
∴∠AMD-∠AME=∠QMN-∠AME，即∠DME=∠FMA，
在△DME和△FMA中，
，
∴△DME≌△FMA（ASA），
∴DE=AF，
∴AE+AF=AE+ED=AD，
在Rt△AMD中，sin∠MDA=sin45°==，即AD=AM，
則AE+AF=AM；

（2）在圖2中線段AE，AF與MA的關系為AE+AF=AM，理由為：
取AD的中點K，連接MK，
∵M為菱形的中心，即M為DB中點，
∴KM為三角形ABD的中位線，
∴KM=AB，
∵菱形ABCD，M為菱形的中心，
∴AM平分∠BAD，BM平分∠ABC，
又∵∠CBA=60°，
∴∠BAD=120°，
∴∠BAM=∠MAP=∠BAD=60°，∠ABM=∠ABC=30°，
∴∠AMB=90°，即三角形ABM為直角三角形，
∴AM=AB，
∴KM=AM，又∠MAP=60°，
∴△AKM為等邊三角形，
∴KM=AM=AK，∠MKA=∠KME=60°，
∴∠MKE=∠MAF=60°，
∴∠KME+∠EMA=60°，∠EMA+∠AMF=60°，
∴∠KME=∠AMF，
在△KME和△AMF中，
，
∴△KME≌△AMF（ASA），
∴KE=AF，
則AM=AK=AE+KE=AE+AF．
故答案為：AM=AE+AF；

（3）∵菱形ABCD的邊長為4，
∴AB=BC，又∠ABC=60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∴AC=AB=BC=4，又M為AC中點，
∴AM=AC=2，又AE=1，
由（2）得出的結論AM=AE+AF，可得AF=1，
在△AME和△AMF中，
，
∴△AME≌△AMF（SAS），
∴△AME與△AMF的面積相等，
過M作MH⊥AD，連接AM，
∵菱形ABCD，
∴AM⊥BD，
在Rt△ADM中，AD=4，AM=2，
根據勾股定理得：DM=2，
在Rt△DMH中，∠MDH=30°，
∴MH=DM=，
∴S_△AME=S_△AMF=AE•MH=．
分析：（1）由四邊形ABCD為正方形，根據正方形的性質得到∠MDA=∠BAM=45°，MD=MA，AM與DM垂直，又四邊形MNPQ也為正方形，得到∠NMQ為直角，由∠AMD與∠NMQ都減去∠AME，根據等式的性質得到∠DME與∠AMF相等，利用ASA可得出△DME與△AMF全等，由全等三角形的對應邊相等可得DE=AF，由AD=DE+DA，等量代換得到AD=AF+AE，可得AM=AE+AF，得證；
（2）在圖2中線段AE，AF與MA的關系為：AE+AF=AM，理由為：由四邊形ABCD為菱形，∠QMN=∠CBA=60°，根據菱形的性質得到BD為∠ABC的平分線，可得∠ABM為30°，AM垂直于BD，在Rt△AMB中，由30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得AM等于AB的一半，取AD的中點P，由M為BD中點，得到MP為△ABD的中位線，根據中位線定理得到PM等于AB的一半，等量代換可得PM=AM，又AM平分∠BAD，∠BAD=120°，可得∠MAP為60°，根據有一個角為60°的等腰三角形為等邊三角形可得△APM為等邊三角形，可得三條邊相等，三個角相等都為60°，得到∠PMA為60°，可得∠PMA與∠NMQ相等，都減去∠EMA，可得∠PME與∠AMF相等，利用SAS可證明△PME與△AMF全等，根據全等三角形的對應邊相等可得AF=PE，而AM=AP，AP=PE+EA，等量代換得到AP=AE+AF，可得AM=AE+AF，得證；
（3）連接AM，過M作MH垂直于AD，由菱形的邊長相等，且∠CBA=60°，得到△ABC為等邊三角形，可得AM為菱形邊長的一半，求出AM的長，由菱形的對角線互相垂直，得到AM與BD垂直，在Rt△ADM中，利用勾股定理求出DM的長，在Rt△DMH中，由30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得MH的長，由（2）的結論得到AM=AE+AF，把AM及AE的長代入求出AF的長，得到AE=AF，又AM為角平分線，得到一對角相等，再加上公共邊AM，利用SAS證明△AEM與△AFM全等，可得兩三角形面積相等，利用AE•MH計算出△AEM的面積，即為△AFM的面積．
點評：此題考查了正方形的性質，菱形的性質，含30°角的直角三角形的性質，勾股定理，等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，中位線定理，銳角三角形函數定義，以及等腰直角三角形的性質，利用了轉化的思想，要求學生作出適當的輔助線，構造全等三角形，根據全等三角形的性質得到線段的相等，利用等量代換的方法，找出線段間的等量關系，得到解決問題的目的．