Question

某工程機械廠根據市場需求，計劃生產A、B兩型號的大型挖掘機共100臺，該廠所籌生產資金不少于22400萬元，但不超過22500萬元，且所籌集的資金全部用于生產此兩型號挖掘機，所生產的此兩型號挖掘機可全部售出，此兩型號挖掘機的生產成本和售價如下表：

型號	A	B
成本（萬元/臺）	200	240
售價（萬元/臺）	250	300

（1）該廠對這兩型號挖掘機有哪幾種生產方案？
（2）該廠如何生產才能獲得最大利潤？
（3）該機械廠為了技術革新，決定從獲得的利潤中拿出900萬元購進新生產設備，已知有三種不同型號的設備，價格分別為：甲種每臺15萬元，乙種每臺21萬元，丙種每臺25萬元．若該廠同時購進其中兩種不同型號的設備共50臺，共有幾種購買方案？

Answer 1

分析：（1）首先用未知數表示出生產A型號挖掘機的數量，然后根據兩種型號的挖掘機總數為100，來表示出B種型號的挖掘機的數量；根據“該廠所籌生產資金不少于22400萬元，但不超過22500萬元”，列出不等式求出未知數的取值范圍，由于挖掘機的臺數是整數，可據此求得未知數的整數值，從而確定生產方案．
（2）由圖表知：生產B種型號挖掘機的單臺利潤要大于生產A種型號的挖掘機，因此生產的B種型號越多，利潤越大，可據此選擇（1）的生產方案．
（3）分別用未知數表示出生產三種機械的臺數，然后根據購買的兩種設備總數為50臺，且總價為900萬元列不等式組，求出未知數的值，從而確定購買方案．

解答：解：（1）設生產A型挖掘機x臺，生產B型挖掘機（100-x）臺，
依題意，得22400≤200x+240（100-x）≤22500，
解得：37.5≤x≤40；（2分）
∴x=38、39、40，∴有三種生產方案：
方案一：A型38臺，B型62臺；
方案二：A型39臺，B型61臺；
方案三：A型40臺，B型60臺．（4分）

（2）∵A型每臺利潤50萬元，B型每臺利潤60萬元，
∴選擇方案一可獲得最大利潤，
最大利潤為：38×50+62×60=5620萬元．（6分）

（3）設：購進甲種設備x臺，乙種設備y臺，丙種設備z臺，
依題意，得

x+y=50 15x+21y=900

或

x+z=50 15x+25z=900

或

y+z=50 21y+25z=900

，（9分）
解得：

x=25 y=25

或

x=35 z=15

或

y= 125 2 z=- 75 2

；（舍去）
因此，共有兩種進貨方案：
方案一：購進甲設備25臺，乙設備25臺，
方案二：購進甲設備35臺，丙設備15臺．（10分）

點評：此題主要考查了一元一次不等式組以及二元一次方程組的應用，理清題意，找準關鍵描述語是解決問題的關鍵，難度較大．