Question

如圖，已知直角梯形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA=AB=2，OC=3，過點B作BD⊥BC，交OA于點D．將∠DBC繞點B按順時針方向旋轉，角的兩邊分別交y軸的正半軸、x軸的正半軸于E和F．
（1）求經過A、B、C三點的拋物線的解析式；
（2）當BE經過（1）中拋物線的頂點時，求CF的長；
（3）連接EF，設△BEF與△BFC的面積之差為S，問：當CF為何值時S最小，并求出這個最小值．

Answer 1

分析：（1）根據OA、AB、OC的長，即可得到A、B、C三點的坐標，進而可用待定系數法求出拋物線的解析式；
（2）此題要通過構造全等三角形求解；過B作BM⊥x軸于M，由于∠EBF是由∠DBC旋轉而得，所以這兩角都是直角，那么∠EBF=∠ABM=90°，根據同角的余角相等可得∠EBA=∠FBM；易知BM=OA=AB=2，由此可證得△FBM≌△EBA，則AE=FM；CM的長易求得，關鍵是FM即AE的長；設拋物線的頂點為G，由于G點在線段AB的垂直平分線上，若過G作GH⊥AB，則GH是△ABE的中位線，G點的坐標易求得，即可得到GH的長，從而可求出AE的長，即可由CF=CM+FM=AE+CM求出CF的長；
（3）由（2）的全等三角形易證得BE=BF，則△BEF是等腰直角三角形，其面積為BF平方的一半；△BFC中，以CF為底，BM為高即可求出△BFC的面積；可設CF的長為a，進而表示出FM的長，由勾股定理即可求得BF的平方，根據上面得出的兩個三角形的面積計算方法，即可得到關于S、a的函數關系式，根據函數的性質即可求出S的最小值及對應的CF的長．

解答：解：（1）由題意可得A（0，2），B（2，2），C（3，0），
設所求拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
則

c=2 4a+2b+c=2 9a+3b+c=0

，
解得

a=- 2 3 b= 4 3 c=2

；
∴拋物線的解析式為y=-

2

3

x2+

4

3

x+2；

（2）設拋物線的頂點為G，
則G（1，

8

3

），過點G作GH⊥AB，垂足為H，
則AH=BH=1，GH=

8

3

-2=

2

3

；
∵EA⊥AB，GH⊥AB，
∴EA∥GH；
∴GH是△BEA的中位線，
∴EA=2GH=

4

3

；
過點B作BM⊥OC，垂足為M，則BM=OA=AB；
∵∠EBF=∠ABM=90°，
∴∠EBA=∠FBM=90°-∠ABF，
∴Rt△EBA≌Rt△FBM，
∴FM=EA=

4

3

；
∵CM=OC-OM=3-2=1，
∴CF=FM+CM=

7

3

；

（3）設CF=a，則FM=a-1，
∴BF²=FM²+BM²=（a-1）²+2²=a²-2a+5，
∵△EBA≌△FBM，
∴BE=BF，
則S_△BEF=

1

2

BE•BF=

1

2

（a²-2a+5），
又∵S_△BFC=

1

2

FC•BM=

1

2

×a×2=a，
∴S=

1

2

（a²-2a+5）-a=

1

2

a²-2a+

5

2

，
即S=

1

2

（a-2）²+

1

2

；
∴當a=2（在0＜a＜3范圍內）時，S_最小值=

1

2

．

點評：此題主要考查了二次函數解析式的確定、全等三角形的判定和性質以及三角形面積的求法等重要知識點，能夠正確的將求圖形面積最大（小）問題轉換為二次函數求最值的問題是解答（3）題的關鍵．