Question

（2011•資陽）如圖，已知反比例函數y=

m

x

（x＞0）的圖象與一次函數y=-x+b的圖象分別交于A（1，3）、B兩點．
（1）求m、b的值；
（2）若點M是反比例函數圖象上的一動點，直線MC⊥x軸于C，交直線AB于點N，MD⊥y軸于D，NE⊥y軸于E，設四邊形MDOC、NEOC的面積分別為S₁、S₂，S=S₂-S₁，求S的最大值．

Answer 1

分析：（1）把A點的坐標代入反比例函數與一次函數的解析式，求出m，b即可；
（2）設點M的坐標為（x，

3

x

），點N的坐標為（x，-x+4），求出四邊形MDOC和MDEN的面積，代入求出S=（-x²+4x）-3，把上式化成頂點式，即可求出答案．

解答：（1）解：把A（1，3）的坐標分別代入y=

m

x

、y=-x+b，
∴m=xy=3，3=-1+b，
∴m=3，b=4．

（2）解：由（1）知，反比例函數的解析式為y=

3

x

，一次函數的解析式為y=-x+4，
∵直線MC⊥x軸于C，交直線AB于點N，
∴可設點M的坐標為（x，

3

x

），點N的坐標為（x，-x+4），其中，x＞0，
又∵MD⊥y軸于D，NE⊥y軸于E，∴四邊形MDOC、NEOC都是矩形，
∴S₁=x•

3

x

=3，S₂=x•（-x+4）=-x²+4x，
∴S=S₂-S₁=（-x²+4x）-3=-（x-2）²+1．其中，x＞0，
∵a=-1＜0，開口向下，
∴有最大值，
∴當x=2時，S取最大值，其最大值為1．

點評：本題考查了用法待定系數法求一次函數、反比例函數的解析式，一次函數與反比例函數的交點問題，反比例函數的幾何意義，配方法的應用等知識點的運用，本題綜合性比較強，通過做此題培養了學生的計算能力和推理能力，題目比較好，難度適中．