Question

已知⊙O的直徑AB=10，有一動點C從A點沿圓周順時針向點B運動，若點D為弦AC所對弧的三等分點，過點D作DE⊥AB于E，直線AC交直線DB于G，點C、D都不與直徑AB兩端點重合，
（1）如圖，若

AD

=

1

3

ADC

=45°時，①求劣弧AD的長；②求DE的長；③求△BCG的面積；
（2）在點C的運動過程中是否存在以G、C、B為頂點的三角形和△ABC相似？若有請畫出相應狀態圖，并求出相應線段EB的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）①連接OD，由

AD

=

1

3

ADC

=45°得到∠AOD=45°，然后根據弧長公式計算弧AD的長度；
②由DE⊥AB，易得△ODE為等腰直角三角形，然后根據等腰直角三角形的性質可得到DE=

2

2

OD=

5 2

2

；
③在Rt△BDE中，根據勾股定理計算出DE=

DE2+BE2

=5

2+ 2

，由AB為⊙O的直徑，根據圓周角定理得∠C=90°，易弧BC的度數是45°，弧CD的度數是90°，則∠CBD=45°，則△CBG為等腰直角三角形；接著證明Rt△ABC∽Rt△BDE，利用相似計算出BC=

5 2

2+ 2

，然后根據△BCG的面積=

1

2

BC²進行計算；
（2）當弧DC=弧BC時，∠BAC=∠DBC，即可得到Rt△CBG∽Rt△CAB；由點D為弦AC所對弧的三等分點，則∠BAC=∠DBC=2∠ABD，易得∠ABD=18°，連接AD，根據AB為直徑得到∠ADB=90°，在Rt△ABD中，AB=10，∠ABD=18°，根據余弦的定義得BD=10cos18°，在Rt△DEB中，根據正弦的定義得DE=BDsin18°，所以DE=10cos18°•sin18°．

解答：解：（1）①連接OD，如圖，
∵

AD

=

1

3

ADC

=45°，
∴∠AOD=45°，
∵AB=10，
∴OA=OD=5，
∴弧AD的長度=

45π•5

180

=

5

4

π；
②∵DE⊥AB，
∴∠DEO=90°，
∵∠DOA=45°，
∴△ODE為等腰直角三角形，
∴DE=

2

2

OD=

2

2

×5=

5 2

2

；
③在Rt△BDE中，DE=

5 2

2

，BE=OB+OE=5+

5 2

2

，
∴DE=

DE2+BE2

=5

2+ 2

，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠C=90°，
∵

AD

=

1

3

ADC

=45°，
∴弧BC的度數是180°-45°×3=45°，弧CD的度數是2×45°=90°，
∴∠CBD=45°，
∴∠CGB=∠B=45°，
∴△CBG為等腰直角三角形；
∵

AD

和

BC

的度數都為45°，
∴∠ABD=∠BAC，
∴Rt△ABC∽Rt△BDE，
∴

BC

DE

=

AB

DE

，即

BC

5 2 2

=

10

5 2+ 2

，
∴BC=

5 2

2+ 2

，
∴△BCG的面積=

1

2

BC²=

1

2

×（

5 2

2+ 2

）²=

50-25 2

2

；

（2）存在．
當弧DC=弧BC時，∠BAC=∠DBC，
∴Rt△CBG∽Rt△CAB，
∵點D為弦AC所對弧的三等分點，
∴∠BAC=∠DBC=2∠ABD，
設∠ABD=α，則∠BAC=∠DBC=2α，
∴α+2α+2α=90°，解得α=18°，
∴∠ABD=18°，
連接AD，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，AB=10，∠ABD=18°，
∴BD=10cos18°，
在Rt△DEB中，DE=BDsin18°，
∴DE=10cos18°•sin18°．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理及其推論、等腰直角三角形的判定與性質；會運用相似比、勾股定理和銳角三角形函數的定義進行幾何計算．