Question

【題目】如圖，拋物線（＜0）與軸交于A，B兩點，與y軸正半軸交于點C，且∠ACB＝90°，點P是直線BC上方拋物線上的一個動點．

（1）請直接寫出A，B，C三點的坐標及拋物線的解析式；

（2）連接PB，以BP，BC為一組鄰邊作平行四邊形BCDP，當平行四邊形BCDP的面積最大時，求P，D兩點的坐標；

（3）若點Q是x 軸上一動點，是否存在以P，C，Q為頂點的三角形為等腰直角三角形？若存在，請直接寫出P，Q兩點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（－2，0），B（8，0），C（0，4），；（2）P（4，6），D（－4，10）；（3）存在以P，C，Q為頂點的三角形為等腰直角三角形，P1（4，6），Q1（2，0）；P2（， ），Q2（，0）；P3（， ），Q3（，0）

【解析】（1）令＝0，解方程可得x的兩個值，即是A、B兩點的橫坐標，再根據△AOC與△COB相似，可求OC的長，從而得到點C的坐標，最后通過待定系數法可求出拋物線的解析式；（2）作PE⊥x軸于點E，連接PC，通過設P點坐標（m，n）并用含m的式子表示n，可用含m的二次式表示出平行四邊形BCDP的面積，再根據二次函數的最大值即可求出P、D兩點坐標；（3）分三種情況①PC=QC,②PC=PQ,③QC=PQ進行分類討論即可.

解：（1）A（－2，0），B（8，0），C（0，4）

拋物線的解析式為

（2）過點P作PE⊥x軸于點E，交BC于點F，連接PC

設P點坐標為（m，n），平行四邊形BCDP的面積為S

則，OE＝m，BE＝8－m

∵∠COB=∠FEB=90°，∠CBO=∠FBE

∴△BEF∽△BOC

∴，

∴

∴當m＝4時，平行四邊形BCDP的面積S最大

此時，P點的坐標為（4，6）

由平移可得此時D點的坐標為（－4，10）

（3）存在以P，C，Q為頂點的三角形為等腰直角三角形

P1（4，6），Q1（2，0）

P2（， ），Q2（，0）

P3（， ），Q3（，0）